¿Cuál es el grupo fundamental de una esfera a la que se le quitan dos puntos?

Pensé en el grupo fundamental de una esfera donde quitamos dos puntos arbitrarios. Entonces pensé que geométricamente uno puede encontrar una deformación que se retrae al toro y, por lo tanto, el grupo fundamental sería Z × Z pero no estoy seguro de si esto es cierto.

¿Podría alguien ayudarme?

Muchas gracias

Si elimina uno, obtiene un disco (topológico). Al quitar dos, obtienes un disco perforado, que se retrae en un círculo, ¿eh?
Lo siento, no veo por qué al eliminar dos puntos de una esfera, la retracción de Guves a un círculo, ¿existe la posibilidad de que puedas dibujarlo?
Bueno, el primer pinchazo hace un disco. Luego, un disco sin su centro puede "adelgazarse" (topológicamente) para ser el anillo más delgado posible, un círculo. ¿No? Reduzca el radio del borde exterior a 1 y aumente el radio interior a 1... un círculo.
Paul diseccionó este problema en dos pasos para usted. ¿Qué paso no estaba claro? "Ambos" es una buena respuesta, pero simplemente reiterar que no entiende no es útil.
Ajá, entonces, cuando elimino el primer punto de la esfera para obtener un disco, ¿necesito agrandar el todo dado y envolver la superficie?

Respuestas (2)

Una forma diferente de verlo es que si tomas la esfera estándar en R 3 y elimina los polos norte y sur, puedes tomar una proyección (que también es un homeomorfismo) en el cilindro { ( X , y , z ) : X 2 + y 2 = 1 , | z | ≤ 1 } .

una fórmula sería enviar literalmente

( X , y , z ) ↦ ( X X 2 + y 2 , y X 2 + y 2 , z ) .

Tenga en cuenta que en el Polo Norte y Sur, ¡esta fórmula no está bien definida! Es bueno que lo eliminemos.

Geométricamente, esto es como "ampliar" dos agujeros en una esfera hasta llegar al cilindro.

¡Este es en realidad un homeomorfismo bastante común!

Una vez que tienes un cilindro, el círculo S 1 es una retracción de la deformación de su espacio.

Muy buen argumento, +1. Un aspecto conveniente del argumento de proyección estereográfica habitual que se da en la respuesta de José Carlos Santos es que el mismo argumento se puede adaptar al caso cuando se elimina norte > 1 puntos de la esfera. ¿Hay alguna manera de ver lo que está pasando en esta respuesta también? Es un poco menos claro para mí geométricamente cómo ver que esta deformación se retrae a una cuña de norte − 1 círculos
@AlexWertheim A decir verdad, creo que la forma en que uno procede será muy similar, ya que topológicamente un cilindro es solo un anillo, por lo que nuevamente recurriría a tener un disco con ( norte − 1 ) pinchazos :). ¡No estoy seguro de algo más inteligente!
lo siento ( 1 , 0 , 0 ) y ( − 1 , 0 , 0 ) tu polo norte y sur?
@AlexWertheim Estaba en la cama anoche y me di cuenta de que en realidad algo divertido, pero no lo que preguntaste, es que esto se generaliza en una dirección diferente, es decir, eliminando n puntos de S ^ n
@aprozz sí, eso es exactamente correcto

La esfera menos un punto es homeomorfa a R 2 . Por lo tanto, la esfera menos dos puntos es homeomorfa a R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } , cuyo grupo fundamental es ( Z , + ) .

¿Cuál es el grupo fundamental de una esfera a la que se le quitan dos puntos?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v