¿Hay alguna forma de determinar si un número entero se encuentra entre 2 números racionales sin conocerlos?

Quiero saber si existe una condición matemática (que no involucre la función de piso) para que haya un número entero entre 2 números racionales α & β . Yo sé eso

β > [ α ] + 1
pero realmente no sé qué hacer con la función de entero más grande ya que no tengo idea de cuáles son los dos números.

Fuente del problema:

Demostrar que no hay fracción mi F dónde F < b + d que se encuentra entre 2 "fracciones vecinas" a b & C d ( C d − a b = 1 b d )

Hasta ahora, he determinado que mi puede ser cualquier número en el intervalo [ F ⋅ ( a b ) : F ⋅ ( a b + 1 b d ) ] y quiero encontrar los valores de F para el cual un entero se encuentra en el intervalo

la notación [ α ] tiene varios significados posibles. ¿Cuál de ellos se utiliza en su suposición?
mayor función entera; el que redondea α al entero más cercano
En otras palabras, la función de piso, ¿verdad? Lo cual dijiste que no quieres involucrar, pero si la declaración misma de la única propiedad de α y β sabes que incluye esta función, ¿cómo se puede siquiera imaginar evitarla?
Creo que lo escribí mal. Acabo de mencionar la condición que involucra la función de piso para probar si un número entero se encuentra entre α y β, pero realmente no puedo hacer nada con eso ya que no conozco los valores numéricos de los dos números (como se menciona en la fuente de el problema). Solo quiero saber si hay alguna forma algebraica de probarlo.
Son a , b , C , d , mi , F enteros positivos en el origen del problema?
Sí. Debería haber mencionado eso también. Lo lamento
¿Responde esto a tu pregunta? Problema de fracciones vecinas
No precisamente. He visto otras pruebas de este problema, pero estoy tratando de resolverlo por otro método.

Respuestas (2)

Multiplicado con todos los denominadores, sus condiciones son las siguientes:

a d F < mi b d < C b F , C b − a d = 1 , F < b + d .
En particular,
α := ( mi b − a F ) d > 0 y β := ( C F − mi d ) b > 0.
Pero también
α + β = ( mi b − a F ) d + ( C F − mi d ) b = ( C b − a d ) F = F .
Por lo tanto, tenemos d | α , b | β (y por lo tanto d ≤ α , b ≤ β ), y α + β = F < b + d ≤ α + β , lo cual es absurdo.

¿Qué quiere decir exactamente con d|α, b|β ?
d divide α y b divide β .
Gracias; Puedo entender fácilmente la prueba ahora. ¿Podría dar más detalles sobre cómo/por qué definió α y β de la forma en que lo hizo? Estoy tratando de mejorar mis habilidades de redacción de pruebas. Aunque entiendo tu prueba, nunca lo habría intentado de esta manera.
@OVERWOOTCH Para ser honesto, acabo de intentar encontrar algo significativo. Creo que fue una especie de intuición. Siento no poder ayudarte en este asunto.

Dejando de lado la posible aplicación a "fracciones vecinas", veamos las condiciones suficientes en números racionales r , s que garantizan un entero k estrictamente entre ellos.

Obviamente algún conocimiento sobre r , s es necesario porque hay muchos pares de números racionales sin un entero estrictamente entre ellos. Sin usar la función de piso, se puede derivar el "número entero que existe en el medio" a partir de la información sobre qué tan separados están r , s son.

Si | r − s | > 1 , entonces hay un entero k estrictamente entre r y s .

Si al menos uno de r , s no es en sí mismo un número entero, esto se puede mejorar para requerir simplemente | r − s | ≥ 1 .

Estas son condiciones suficientes pero no necesarias, ¿verdad? Aunque no puedo aplicarlo a mi problema, son útiles para obtener información.
Deberíamos estar buscando información sobre su α , β eso les impide ser un par aleatorio de números racionales. De lo contrario, no tenemos ninguna esperanza de probar que existe un número entero entre ellos.
¿Hay alguna forma de determinar si un número entero se encuentra entre 2 números racionales sin conocerlos?
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