Entender la prueba de que S∞S∞S^\infty es contraible.

Proposición $:$ $S^\infty$es contraible.

Prueba $:$Primero define$f_t : \Bbb R^\infty \longrightarrow \Bbb R^\infty$por$f_t(x_1,x_2,\cdots) = (1-t) (x_1,x_2,\cdots) + t(0,x_1,x_2,\cdots).$Esto lleva vectores distintos de cero a vectores distintos de cero para todos$t \in [0,1],$entonces$\frac {f_t} {|f_t|}$da una homotopía del mapa de identidad de$S^\infty$al mapa$(x_1,x_2,\cdots) \mapsto (0,x_1,x_2,\cdots).$Entonces la homotopía de este mapa a un mapa constante está dada por$\frac {g_t} {|g_t|}$dónde$g_t(x_1,x_2,\cdots) = (1-t) (0,x_1,x_2,\cdots) + t(1,0,0,\cdots).$

Esta prueba se da en mi nota de clase y se copia del libro de Hatcher. No entiendo la construcción de la homotopía. Sé que un espacio topológico$X$es contraible si existe$x_0 \in X$tal que$Id_X \simeq C_{x_0},$dónde$C_{x_0}$es la función constante tomando cada elemento de$X$al punto especifico$x_0.$Aquí$X = S^{\infty}.$Entonces la homotopía$H$debe definirse en$S^{\infty} \times I$y debe tomar valores en$S^{\infty}.$Pero en cambio se define en$\Bbb R^{\infty} \times I.$no entiendo que pasa aqui ¿Por qué estamos tomando?$\Bbb R^{\infty}$aquí y aprovechando la convexidad del espacio? ¿Alguien puede arrojar algo de luz al respecto? Cualquier sugerencia con respecto a esto será muy apreciada.

Gracias de antemano.