Grupo fundamental infinito y no abeliano.

Tuve problemas al tratar de responder a esta pregunta. Estoy tratando de probar lo siguiente:

Suponer tu 1 , tu 2 y tu 3 := tu 1 ∩ tu 2 son subconjuntos abiertos conectados por caminos de X = tu 1 ∪ tu 2 . Suponer que π 1 ( tu 1 ) ≅ Z / 3 , π 1 ( tu 2 ) ≅ Z / 4 y π 1 ( tu 3 ) ≅ Z / 2 . Muestra esa π 1 ( X ) es infinito y no abeliano.

Usando van Kampen, obtenemos el siguiente diagrama conmutativo:

Z / 2 → φ 1 Z / 3 φ 2 ↓ ↓ ψ 1 Z / 4 → ψ 2 π 1 ( X )

Aquí, φ 1 , φ 2 , ψ 1 , ψ 2 son los homomorfismos inducidos por las inclusiones canónicas tu 3 ↪ tu 1 , tu 3 ↪ tu 2 , tu 1 ↪ X y tu 2 ↪ X respectivamente. Ahora, desde

# hombre Z ( Z / 2 , Z / 3 ) = mcd ( 2 , 3 ) = 1 ,
debemos tener eso φ 1 = 0 es el mapa cero. Como el diagrama conmuta, también obtenemos ψ 2 ∘ φ 2 = 0 . Usando la presentación grupal, podemos escribir π 1 ( tu 1 ) ≅ ⟨ α ∣ α 3 ⟩ , π 1 ( tu 2 ) ≅ ⟨ β ∣ β 4 ⟩ y π 1 ( tu 3 ) ≅ ⟨ γ ∣ γ 2 ⟩ . De nuevo por van Kampen, obtenemos
π 1 ( X ) ≅ ( Z / 3 ) ∗ Z / 2 ( Z / 4 ) ≅ ⟨ α , β ∣ α 3 , β 4 , 0 = φ 2 ( γ ) ⟩ .
Mi problema es que no estoy seguro de cómo continuar. ¿Podemos decir algo sobre el mapa? φ 2 ? Desde # hombre Z ( Z / 2 , Z / 4 ) = mcd ( 2 , 4 ) = 2 hay dos posibilidades para φ 2 . Uno es el mapa cero nuevamente, y el otro es el mapa 0 ↦ 0 y 1 ↦ 2 . en el caso de que φ 2 es de hecho el mapa cero, la afirmación sigue inmediatamente. ¿Hay algo que podamos inferir de ψ 2 ∘ φ 2 = 0 ?

math.stackexchange.com/q/4276473 se preguntó hace 9 horas. ¿Sólo una coincidencia?
@PaulFrost No, me vinculé a esa publicación en mi pregunta por una razón. Primera línea incluso.

Respuestas (2)

Escribiré multiplicativamente la operación en todos los grupos involucrados. Entonces el diagrama:

Z / 2 → φ 1 Z / 3 φ 2 ↓ ↓ ψ 1 Z / 4 → ψ 2 π 1 ( X )
es
⟨   γ   |   γ 2 = 1   ⟩ → φ 1 ⟨   α   |   α 3 = 1   ⟩ φ 2 ↓ ↓ ⟨   β   |   β 4 = 1   ⟩ → π 1 ( X )
y por van Kampen π 1 ( X ) es el grupo con los generadores y las relaciones copiadas de (las versiones multiplicativas de) Z / 4 y Z / 3 , amalgamado wrt φ 1 ( γ ) = φ 2 ( γ ) . Por supuesto, φ 1 ( γ ) = 1 . Para φ 2 ( γ ) tenemos dos oportunidades, ya sea 1 o β 2 . Así que las posibilidades de π 1 ( X ) son ambos
π 1 ( X ) = ⟨   α , β   |   α 3 = 1   ,   β 4 = 1   ;   1 = 1   ⟩ = ⟨   α , β   |   α 3 = 1   ,   β 4 = 1   ⟩   ,  o  π 1 ( X ) = ⟨   α , β   |   α 3 = 1   ,   β 4 = 1   ;   β 2 = 1   ⟩ = ⟨   α , β   |   α 3 = 1   ,   β 2 = 1   ⟩   .
Dos grupos infinitos con las presentaciones anteriores.

¡Gracias, tiene sentido ahora!

la ultima relacion ϕ 2 ( γ ) = 0 es cualquiera β 2 = 0 o β 0 = 0 (el último de los cuales es trivial, por lo que no agrega ninguna información)

Esto implica que π 1 ( X ) = ⟨ α , β ∣ α 3 , β norte ⟩ dónde norte = 2 o 4 . Este es el caso desde ⟨ α , β ∣ α 3 , β 2 ⟩ = ⟨ α , β ∣ α 3 , β 4 , β 2 ⟩ .

Esto significa que en cualquier caso π 1 ( X ) es un producto libre de dos grupos distintos de cero ( Z 3 ∗ Z 4 o Z 3 ∗ Z 2 ) que es siempre infinita y no abeliana.

Gracias, tu respuesta fue útil. Estaba confundido, porque obtener algo como π 1 ( X ) ≅ Z 3 ∗ Z 4 se sintió mal al principio. Veo por qué tiene sentido ahora.
Grupo fundamental infinito y no abeliano.
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 1v