Si el mundo platónico existe, ¿cómo lo sabríamos?

Si asumimos la existencia de un mundo no material de ideas que describen las matemáticas, hay algunas preguntas que un platónico debe abordar.

1) ¿Cómo se relaciona el mundo ideal con el real, donde las matemáticas también juegan un papel?

2) ¿Cómo accedemos al mundo ideal y establecemos verdades sobre él con "certeza absoluta" en matemáticas?

La respuesta de Platón a la primera pregunta fue que las cosas reales imperfectamente "imitan" originales ideales, como sombras en una pared. Su respuesta a la segunda fue aún más creativa. Antes del nacimiento nuestra alma contempla directamente el mundo ideal, pero olvida la experiencia al nacer. Interactuar con imitaciones de ideas refresca nuestra memoria de ellas, lo que lleva a las verdades ideales, el proceso que llamó anamnesis (no olvidar). Mientras que los platónicos modernosPuede aceptar la teoría de la imitación. Dudo que muchos de ellos se suscriban a la anamnesis. Limpiado de elementos fantásticos, esencialmente nos equipa con una versión de "mindsight", un sexto sentido que revela el mundo ideal directamente, a diferencia de los otros cinco. No hay evidencia en el trabajo de los matemáticos de que poseamos tal cosa, lo que probablemente explica por qué Platón movió su visión de la mente al prenatal. Y si esta visión de la mente es intuición, entonces es una fuente bastante poco confiable.

Por otro lado, si no tenemos acceso directo al ideal y solo lo reconstruimos a partir de la realidad imperfecta entonces hay un problema. No solo no podemos estar absolutamente seguros de que nuestras reconstrucciones establezcan verdades al respecto, ni siquiera podemos estar seguros de que lo reflejen en absoluto. Leibniz amplió la teoría de la imitación a la "armonía preestablecida" entre lo ideal, lo material y nuestra mente, que existe porque "Dios crea el mundo mejor y más armonioso". Pero esto no es mejor que la visión mental. Y se pone peor. Todo lo que realmente tenemos para continuar son nuestras interacciones con la realidad y el proceso de reconstrucción. Si podemos llegar a ideas de que el mundo platónico y la armonía preestablecida no son meras especulaciones, son complicaciones innecesarias, superfluas como el éter en la relatividad.

No estoy muy familiarizado con el platonismo matemático más reciente, especialmente en el siglo XX, el artículo de Stanford trata más sobre objeciones al platonismo que argumentos a su favor. Pero parece seguir siendo popular entre los matemáticos, quizás también entre algunos filósofos, así que tengo curiosidad.

¿Cómo explica el platonismo moderno nuestra capacidad para adquirir conocimientos sobre el mundo ideal? ¿Cuál es el argumento para no cortar el mundo platónico con la navaja de Occam?

EDITAR: Juro, esto no es lo que esperaba. Originalmente esperaba que un platónico, o alguien familiarizado con el platonismo moderno, hiciera el mejor caso para el mundo ideal mientras explicaba realizaciones más recientes, como la falibilidad de la intuición y la crítica de la metafísica de Kant. Pero parece que todas las respuestas esencialmente conceden la inexistencia del mundo ideal, y hacen argumentos basados ​​​​en emociones / motivaciones para el platonismo "solo en la práctica", o reinterpretan las ideas conceptualmente. Voté a favor de todas las respuestas, ya que contribuyen a comprender las perspectivas modernas sobre el platonismo, y acepté la que más se acerca a reproducir algo como el reino ideal, aunque radicalmente rehecho.

Con respecto a su edición, si está buscando a alguien que defienda lo indefendible, entonces la filosofía es un buen lugar para comenzar a buscar. Simplemente no esperes una defensa clara. Desearía haber sido más útil. Tal vez en el futuro, cuando tenga una visión más madura del tema, estaré en una mejor posición para comprender los problemas de manera más completa a fin de montar una defensa razonable.
Sin embargo, @Nick RI no cree que sea indefendible, las largas tradiciones de pensamiento suelen ser lo suficientemente flexibles como para lidiar con nuevas objeciones. Incluso yo puedo pensar en formas de hacer que el reino ideal sea más aceptable, y no simpatizo con el platonismo. Hay trabajos de Husserl sobre los que escuché cosas intrigantes, pero parece demasiado denso y técnico para que lo entienda. Definitivamente creo que el platonismo captura algunos aspectos no triviales del descubrimiento matemático, y tiene que haber una expresión filosófica moderna para ellos.
Estoy a favor de comprender mejor a Platón. Mi estado actual de "estudiante de segundo año" es un obstáculo considerable al leer a alguien como Husserl, pero parece un buen lugar para meter la nariz en una fecha posterior. Salud.
Quizás la falta de respuestas esperadas sea en sí misma una respuesta. Me atrevería a decir que aquellos que siguen simpatizando con Platón suelen estar interesados ​​en un aspecto de su pensamiento bastante diferente al tuyo. Sin embargo, podría estar equivocado. Podría ser útil si pudiera elaborar sobre lo que personalmente considera que son los "aspectos no triviales del descubrimiento matemático" capturados por el platonismo.
@Chris Sunami El sentido de que las verdades matemáticas se descubren en lugar de construirse aunque las teorías matemáticas aparentemente se construyen a través de una cascada de abstracciones con el fundamento en la experiencia, la "estabilidad" de las conclusiones a pesar de los cambios en la experiencia misma, el proceso de refinar la intuición de el abstracto ("anamnesis"), que es individual pero no convencionalmente psicológico porque está destinado a explorar algo universal.
Es difícil describir esos aspectos sin abrazar el platonismo en sí mismo, que es exactamente la razón por la que sigue siendo tan atractivo, pero creo que una filosofía integral de las matemáticas tiene que reducirse al platonismo "efectivamente" como una perspectiva "ingenua" correcta de un matemático, como cuántica. la mecánica se reduce a la clásica.
@Conifold He agregado una breve edición al final de mi respuesta, si te atreves...
@Conifold Plato tenía una gran cantidad de ideas asombrosas en campos tan diversos como las matemáticas, el arte y la política. La pregunta es si lo vemos como un genio [matemático] que desafortunadamente tenía algunas ideas locas, o ¿tuvo todas sus percepciones debido a sus ideas locas? Si simpatizas más con lo primero que con lo segundo, no estoy seguro de que haya mucho más en el camino de la rehabilitación rentable y la desmitificación de las matemáticas de Platón que no se haya realizado hace siglos. Me atrevería a decir que el propio Platón consideraba que sus matemáticas eran el dedo que señala la estrella, no la estrella misma.

Respuestas (4)

El reino platónico existe en el sentido platónico porque ha sido claramente concebido como objeto platónico en sí mismo. "El reino de las ideas" es simplemente la idea de la colección de todas las ideas, que uno tiene automáticamente si tiene ideas y luego expresa ideas sobre la naturaleza de las ideas. La pregunta es si la forma en que existe esa idea califica como existencia.

La pregunta es similar a preguntar si la palabra 'definición' tiene una definición. Claro que lo hace. Pero si aún no sabías lo que era una definición, ¿cómo podría eso definir algo?

De manera similar, todo esto 'existe' si nuestra definición de existente es tan ingenua como debe ser la noción de definir para alguien que escribiría una definición de 'definición' como la primera entrada en un léxico. Pero la crítica a ese nivel de ingenuidad es solo intimidación, no pensamiento.

Tenemos que trabajar en esa definición desde el exterior, y no tenemos más remedio que partir de una idea ingenua de definición o de idea. Forzar los resultados problemáticos posteriores de vuelta a la consideración original es simplemente circular. Tenemos ideas, queramos o no. Entonces, 'cómo obtenemos acceso a las ideas' no es una pregunta real, a menos que se trate del proceso de realización, en lugar del acceso.

Para mí, el argumento para 'no eliminar' este concepto de nuestro pensamiento es que este modo de pensamiento es ineludible. Es en el que caemos con los hábitos de la infancia, que es como la mayoría de nosotros abordamos la mayoría de los problemas que encontramos frescos. Necesitamos formas más sofisticadas de dominar los impulsos infantiles, pero no debemos perderlos, ya que son la base de nuestro pensamiento y siempre lo serán.

Su argumento parece una variación del argumento ontológico de la existencia de Dios. Se sabe que es una falacia, el hecho de que podamos concebir una idea de algo no significa que exista, la existencia no se puede establecer a través de definiciones. Incluso podemos concebir ideas de disparates lógicos como el conjunto de todos los conjuntos.
Pero no se puede introducir la noción de conjunto sin crear inmediatamente la idea del conjunto de todos los conjuntos. Hay que trabajar dialécticamente con los humanos, no hay forma de partir de la claridad. La filosofía de Platón es inconsistente o incompleta. Lo mismo ocurre con todos los sistemas que pueden soportar la aritmética, según Goedel. ¿De qué sirve luchar contra la naturaleza humana hasta el punto de perder el rastro de nuestras raíces?
No creo que 'existe' tenga una definición única. Se necesita una colección de diferentes ontologías para diferentes propósitos, y el platonismo se encuentra entre los más útiles. El argumento ontológico de la existencia de Dios no es una falacia, es una expresión de la experiencia humana de jerarquía y paternidad. Dios es tan real como tu expectativa de que alguien te cuide. ¿Esa expectativa no merece expresión porque no siempre es cierta?
Dios siendo real puede o no ser verdad, el punto es que el argumento ontológico no nos dice nada de ninguna manera. Tiene sentido que algo tan poco trivial no pueda establecerse mediante un truco lógico.
O, más desde mi punto de vista, que algo tan trivial bien podría establecerse de esa manera. La existencia de Dios no tiene ningún efecto que la idea de la existencia de Dios no hubiera tenido ya. El platonismo es un 'juego' en el sentido de Wittgenstein y la búsqueda de una ontología consistente en el sentido matemático es un tipo diferente de juego. Aplicar los estándares de uno al otro no es fuente de cuestionamientos, es una forma de indicar desconfianza.
El conjunto de todos los conjuntos existe para la mayoría de los matemáticos hasta que les causa problemas. Que luego sientan la necesidad de recurrir a un mecanismo diferente de verificación de la verdad no significa que el trabajo realizado hasta ese momento carezca de sentido.
De hecho, estoy de acuerdo con la mayor parte de su respuesta editada. Las ideas ciertamente existen en nuestra mente y no hay problema de acceso allí. Pero el platonismo va más allá. Para un platónico, el círculo perfecto existe externamente y por separado de la idea de él en nuestras mentes, al igual que el sol y la luna existen al margen de nuestras construcciones internas. Es eso lo que es problemático y requiere justificación, porque tenemos sentidos para el sol y la luna, pero no para el círculo perfecto. Su argumento parece estar a favor del conceptualismo en lugar del platonismo.
Bueno, estás preguntando por los matemáticos. Esto es lo que los matemáticos realmente quieren decir cuando dicen platonismo. Que las estructuras matemáticas tienen algún tipo de existencia independiente y podemos discutirlas como si fueran independientes de nosotros. Discutimos, por ejemplo, las teorías de conjuntos bajo algo como L o V como si tuvieran independencia y existirían sin humanos. No hay razón para leer realmente a Platón insistiendo en más que eso.
Quiero decir, si vas a leer la idea de que el alma ve la realidad antes del nacimiento, etc., como algo en lo que Platón realmente creía, en lugar de una metáfora, entonces tienes que imaginar que realmente pensó que había un enorme xilófono en el cielo que el demiurgo sintió. las vibraciones del mundo material a través de cuando lo tocaba. Cierta poesía es sólo poesía.
Pero algunos matemáticos sí creen más: "Tomemos los números primos, por ejemplo, que para mí constituyen una realidad más estable que la realidad material que nos rodea", Alain Connes. No como si, ni siquiera como real, más real. Esa parece ser la creencia de Platón también. Y la anamnesis era más que una metáfora, era una forma inteligente de evitar la pregunta de principio: ¿cómo sabemos?
Casi aparte, la 'Anamnesis' en realidad tiene una base en los estudios de adquisición de la gramática. Un porcentaje ridículamente alto de las veces, los niños solo cometen errores gramaticales que serían propios en un idioma diferente al que ya conocemos. Están 'recordando' la gramática y aprendiendo cuál es su variación local, para que puedan 'olvidarse' del resto. Apuesto a que hay partes igualmente demostrables cuantitativamente en relación con la geometría. Entonces, para ciertas cosas, ya las sabemos, el instinto está ahí y solo necesita ser activado.
Pero hasta el punto real, que esta realidad que debemos permitirnos sea más estable, no significa que sea más esencialmente real. Los matemáticos piensan que estas estructuras son trascendentales, y no podemos evitar hacerlo, incluso cuando sabemos que seguir esas líneas conduce a una tontería.
Volviendo al margen -- Básicamente, como yo lo veo, uno tiene que comprar tanta anamnesis como la que Kant retuvo en su teoría de las categorías, más algo basado en la verificación científica.

No puedo hablar por otros platónicos modernos, pero puedo darte mi perspectiva:

Al interpretar a Platón, me parece un error tomarlo demasiado literalmente. De acuerdo con su visión del mundo, la T mayúscula Verdad no era algo que pudiera captarse por completo en el lenguaje ordinario. Todos sus escritos deben verse principalmente como metafóricos, destinados a ayudar a las personas a descubrir lo Real por sí mismos, más que como un intento real de capturar o definir lo Real.

Me imagino que los filósofos y matemáticos que continúan encontrando convincente el platonismo lo hacen por la misma razón que siempre lo han hecho. Algún aspecto de su trabajo comienza a convencerlos de que debe haber un nivel de realidad más profundo que el disponible para nuestros sentidos ordinarios, y parece alinearse en un sentido profundo con el nivel más profundo de realidad descrito por Platón, incluso si es No es una combinación perfecta en los detalles.

Por lo tanto, me consideraría al menos simpatizante del platonismo, aunque no creo en un Reino Ideal de las Formas como se describe en los diálogos de Platón.

¿Por qué no ir con Kant entonces? Reemplaza ideas inalcanzables por sintéticas a priori que provienen de nosotros mismos, pero que solo pueden ser reconstruidas a posteriori a partir de nuestras percepciones. Esto da un nivel más profundo y explica la "certeza absoluta", evitando el problema de acceso y la multiplicación de entidades.
@Conifold ir con Platón y ir con Kant no son tan diferentes como reconocían los neokantianos del siglo XIX... pero ambos están comprometidos con un mundo de ideas un tanto inaccesible a nuestro conocimiento.
La versión de @Conifold Kant está demasiado definida. No es lo suficientemente abierto como para servir realmente como una puerta de entrada a un mundo más amplio. En realidad, son las fallas y las inconsistencias en las teorías de Platón las que son convincentes. Muchos de ellos, yo diría que se colocan allí deliberadamente, para garantizar que no finalice su búsqueda prematuramente.
@Chris Sunami De hecho, encuentro partes de Kant muy oscuras y abiertas, pero me gustó cómo su teoría desmitifica algunas de las de Platón y elimina algunas inconsistencias, manteniendo las partes valiosas, las ideas objetivas y la necesidad. Su principal defecto es que los a priori sintéticos son inmutables, como las ideas de Platón, mientras que en realidad parecen evolucionar y perfeccionarse con el tiempo. Pensé que Husserl trató de arreglar eso pero realmente no podía entenderlo.
@Conifold lo entiendo. Pero para aquellos que continúan prefiriendo a Platón a Kant, probablemente sean precisamente las partes de Platón que Kant refina las que valoran.

¿Cómo explica el platonismo moderno nuestra capacidad para adquirir conocimientos sobre el mundo ideal? ¿Cuál es el argumento para no cortar el mundo platónico con la navaja de Occam?

Veamos primero la segunda parte de tu pregunta.

La navaja de Occam es un principio rector que hemos formulado en la creencia de que refleja con precisión una característica necesaria del paisaje del mundo ideal de Platón. No esperamos que este mundo incluya formas redundantes o innecesarias al igual que no esperaríamos que este mundo contenga ideales pobremente formados. Esperamos que este mundo sea exactamente lo que se necesita para su formulación ideal y nada más.

Es importante destacar aquí que esperamos que la formulación ideal de la navaja de Occam se encuentre en el mundo ideal de Platón. Por lo tanto, parecería en cierto modo irónico (por no mencionar falso) comenzar a atacar a Platón con una de sus propias formas.

El mundo ideal de Platón debe sostenerse o caer por sí solo. En este sentido, hay que decir que parece caer. Estoy seguro de que los argumentos de Stanford a los que se hace referencia en sus comentarios hacen un trabajo perfectamente bueno al rechazar el mundo ideal de Platón.

Sin embargo, las matemáticas contienen muchos ejemplos de cómo las ideas simples y los argumentos elementales pueden conducir a resultados profundos, hermosos e incluso impactantes. Aquí, los matemáticos a menudo creen haber vislumbrado una forma ideal. Se siente muy real. Entonces, aunque la visión de Platón de un mundo de ideales único y bien definido parece ser inconsistente, la noción de una forma ideal no parece ser problemática en un contexto dado.

Esta aceptación más selectiva de la visión de Platón es consistente con los puntos de vista expresados ​​en su pregunta y destaca cuán arraigadas están las ideas de Platón en nuestra propia visión moderna de las matemáticas. Uno está feliz de aceptar el ideal expresado por la navaja de Occam, por ejemplo, mientras que tal vez se sienta incómodo con todas las implicaciones de un mundo matemático idealizado.

Con respecto a la primera parte de su pregunta sobre nuestra capacidad para adquirir conocimiento del mundo ideal, como acordamos en mi respuesta a su pregunta anterior, nunca podemos estar realmente seguros si nuestra formalización de una teoría particular o ideal (no trivial) es ya sea correcta o fundamental . Podemos guiarnos por principios como la navaja de Occam o podemos apelar a la estética y la experiencia, pero ninguna de estas técnicas puede brindar certeza. En última instancia, nunca podemos saberlo. En el lado positivo, la notable utilidad de nuestras teorías matemáticas nos dice que incluso si estamos creando emergentesteorías en lugar de teorías fundamentales del mundo ideal, lo que estamos haciendo tiene un valor real, incluido el valor intelectual y artístico (si eso no es demasiado etéreo), y nos guiamos por la visión de Platón en este sentido.

Quizá lo mejor que podemos esperar es que nuestro universo matemático esté enredado de algún modo con una forma restringida de la visión de Platón.

EDITAR 23 de septiembre

He tenido la tentación de preguntar esto, pero mi falta de madurez me ha hecho reacio, ya que puede ser un punto bastante inexperto.

Nuestra formalización de la lógica (clásica) puede no ser ideal, pero nuestros teoremas son sin duda válidos.

Se podría argumentar que dado que la aritmética no puede ser completa y consistente, tenemos grandes problemas con Platón. Incluso con una forma completa y consistente, como la Geometría Euclidiana, tenemos problemas. Le ahorraré los detalles y elegiré una cuestión más económicamente expresada.

El mundo de Platón debe ser en sí mismo una forma ideal. Es decir, debe, por concepción, ser un miembro de sí mismo. (Vaya, realmente me estoy volviendo de segundo año ahora). Esto lleva a todas las paradojas obvias asociadas con la autorreferencia, lo que hace que el mundo de Platón sea inconsistente o incompleto.

La incompletitud no es un problema, se aplica a enunciados comprobables en sistemas efectivamente axiomatizados más fuertes que la aritmética. Entonces, todo lo que dice el teorema de Gödel es que todas las verdades sobre el mundo ideal no pueden probarse a partir de una lista bien definida de axiomas, que de todos modos esperarías de algo tan vasto. En cuanto a la autorreferencia, las ideas no son extensionales como los conjuntos, por lo que no se producirán paradojas. Hay una regresión infinita (idea de idea de idea, etc.), pero uno puede descartar tales iteraciones como sin sentido, por lo que no expresan ideas válidas.
@Conifold D'oh! Aparentemente no he entendido del todo el concepto de extensionalidad. Su comentario ciertamente lo ha dejado más claro, y destaca algo que debería haber sido claro para mí en esta etapa ya que al menos entiendo (vagamente) los problemas de la colectivización sin restricciones.

2) ¿Cómo accedemos al mundo ideal y establecemos verdades sobre él con "certeza absoluta" en matemáticas?

Dado que las palabras "certeza absoluta" aparecen entre comillas en la oración anterior, no abordaré ese aspecto en mi respuesta. El acceso al mundo ideal se basa en las redes neuronales de nuestro cerebro que ya funcionan automáticamente con una buena (pero no perfecta) comprensión de la lógica - Álgebra de Boole - 1.º, 2.º y órdenes superiores de Lógica de predicados - la intuición depende del razonamiento por analogías , Lógica difusa, etc. A medida que el cerebro procesa una verdad platónica desconocida hasta ahora, también emplea los rudimentos de lo que ahora llamamos las estructuras de control básicas en los lenguajes informáticos: declaraciones if-else, estructura de bucle no determinista, como él (el cerebro) secuencia a través de su aplicación a lo largo del tiempo. (No todo esto tiene que ser cerebral, pero puede,

En resumen, el acceso al ámbito matemático platónico es determinista, según la tesis de Church/Turing. Cuando el no determinismo reside en el ámbito platónico, lo consideramos como paradojas, hipótesis, etc., incluida esta declaración aquí también.

Si el mundo platónico existe, ¿cómo lo sabríamos?
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