¿Se basan las matemáticas en creencias y suposiciones?

Las matemáticas se basan en suposiciones, totalmente. Como usted dice, la mayoría de las matemáticas estándar se derivan básicamente de ZF o ZFC.

Incluso tienes que confiar en suposiciones a veces, pero supongo que ya lo sabes cuando mencionas el teorema de incompletitud de Gödel. Un ejemplo famoso es la hipótesis del Continuum, que no se puede demostrar que sea correcta o incorrecta dentro de los límites de ZF o ZFC. Entonces, para trabajar con él, debe asumir que es cierto o no.

Pero: hay una razón para que los Axiomas actuales sean como son. Simplemente les parece correcto a mucha gente y parecen capturar la realidad correctamente, es decir, parecen fundamentar una teoría que se puede aplicar a cosas reales (como, por ejemplo, cálculos en física o en computación).

Eche también un vistazo a esta pregunta: ¿Se inventaron o descubrieron las matemáticas? .

Sin embargo, en esta etapa de mi vida no encuentro motivación porque no sé lo que sé o lo que podemos saber o por dónde empezar.

Todos los matemáticos, independientemente de si usan matemáticas estándar (es decir, aceptan los axiomas que fundamentan las matemáticas estándar) o matemáticas no estándar (lo que significa: otros axiomas y reglas, rechazan los axiomas principales y no creen que ellos feel right) aceptan que El estado actual del arte, con respecto a los axiomas elegidos, es correcto, es decir, es verdadero; por lo tanto, parece haber algo que permite a las personas falsificar la corrección de una declaración con respecto a axiomas arbitrarios. Y: Llegan a la misma conclusión.

En resumen: parece haber algo que te permite razonar sobre la verdad. Este algo no se viola en las matemáticas (ni en los debates filosóficos). Incluso iría tan lejos y diría que las matemáticas son algo que se origina en la mente humana (dicho esto, creo que las matemáticas son como son por la forma en que es la mente humana).

Si este algo es la razón , si hay otras mentes y de qué manera funcionan todas estas cosas es tema de otra discusión. Sin embargo, creo que al final todo acaba en creer y asumir.

Yo, por ejemplo, creo en mi existencia y asumo que hay otras personas reales que, si se les da un conjunto de axiomas, obtienen las mismas matemáticas que yo cuando lo hago. Pero no hay forma de poner a tierra nada de esto en absoluto.

Sí, las matemáticas (y la lógica clásica) se basan en creencias y suposiciones.

Algunos de estos se explican explícitamente, como axiomas.

Otros generalmente no se declaran. Un buen ejemplo de esto se encuentra en el artículo seminal de Lewis Carroll What the Tortoise Said to Achilles

Parece que lo que parecía ser una lógica hermética en realidad está llena de paradojas, circularidad y relatividad.

Ese es de hecho el caso. Trate de no dejar que lo deprima.

EDITAR:

Para saber por qué este es necesariamente el caso, véase el Trilema de Agrippa .

Provocativamente, es literalmente correcto que las matemáticas se basen en creencias y suposiciones, pero eso es engañoso en su descarado contraintuitivo titular impactante.

Lo que la gente considera matemáticas, principalmente aritmética, es tan -obvio- que sería (es-) una locura dudar de ello (es decir, la escena '2+2=4' de Orwell en '1984'). Una vez que aprendes las reglas de la geometría, aunque las cosas no son obvias, una vez que se prueba una afirmación, entonces es incontrovertible.

Una vez que se prueba algo, psicológicamente ese 'teorema' funciona como una creencia; sostienes que es cierto todo lo que vino antes (con un teorema, algo justificable vino antes). Y a menudo, lo que hace un matemático es tomar teoremas que supuestamente alguien más ha probado, sin juzgar ese teorema en su totalidad, y lo trata como verdadero, como si fuera una creencia. Así que realmente es una creencia.

Pero al desentrañar un teorema, uno encuentra teoremas dentro, y dentro de esos, incluso teoremas 'más pequeños' o 'anteriores' para ser probados... ¿dónde se detiene? Bueno, eso es lo que es un 'axioma', una declaración tomada como verdadera artificialmente sin justificación; simplemente es-.

Dichos axiomas se toman esencialmente, esta es una forma divertida de decirlo, como una cuestión de fe (por supuesto, la mayoría de los axiomas son realmente 'vistos' como verdaderos, al igual que '2 + 2 = 4' se ve como verdadero (con apenas un pensamiento en absoluto).

Ahora podrías pensar, está bien, está bien, pero tiene que haber -algo- en las matemáticas que sea fundamentalmente incuestionable, después de todo, si alguna ciencia tiene la oportunidad de ser verdaderamente verdadera, son las matemáticas (a diferencia de la física y otras ciencias naturales donde uno puede imaginar fácilmente hechos contingentes).

La lógica tiene el mayor reclamo de ser esta parte fundamental de las matemáticas. Y es -es- lo más fundamental. Pero el pensamiento matemático es, de una manera algo perversa, el pensamiento más escéptico de todos; ves un patrón (todos los números primos >2 que he visto son impares), pero sientes la necesidad de -probarlo-, no tienes ninguna duda de que es cierto. Y uno todavía puede ser escéptico acerca de las reglas lógicas. Es un gran -logro- de la lógica del siglo XX que uno pueda ser escéptico ante afirmaciones simples como "'P o no P' es una tautología" y, por lo tanto, requiera pruebas, y también ver que los cambios misteriosos en la forma en que uno define esos términos podrían en realidad hacen que esa afirmación no sea verdadera.

En cada paso del camino, aunque las matemáticas parezcan tan evidentemente verdaderas, siempre hay creencias y suposiciones en juego.

Las matemáticas no se basan en suposiciones y creencias, aunque los sistemas de axiomas sí. Se basa en la noción de computación. La noción de computación es invariable, es la misma en cualquier sistema de axiomas suficientemente complejo, de modo que las computadoras descritas por PRA, PA, ZF, ZFC, ZF+large-cardenals, o cualquier otro sistema de axiomas de potencia suficiente para describir una computadora ; son todos iguales.

Esto es diferente de otros conceptos en matemáticas: el conjunto de números reales, por ejemplo, es notoriamente diferente de un sistema de axiomas a otro sistema de axiomas y dentro de un sistema de axiomas dado, de un modelo a otro. En algunos sistemas de axiomas para la teoría de conjuntos, los números reales tienen cardinalidad aleph-1 (el primer cardinal incontable), siendo el más destacado V=L (universo construible de Godel). En algunos modelos de ZFC tiene cardinalidad aleph-19. La cuestión de la cardinalidad de los números reales no es absolutamente significativa, porque no es computacional.

Si usa una base computacional, puede deshacerse de su confusión, lo que llamaré "enfermedad de Godel". Todos los matemáticos pasan por la enfermedad de Gódel cuando escuchan sobre el teorema de Gódel, hasta que realmente estudian lógica. El argumento de Godel esencialmente solo muestra que la noción de computación, que es absoluta, puede usarse para fortalecer los sistemas de axiomas, hasta alcanzar los límites de la computación.

Uno puede (razonablemente) definir las matemáticas de la siguiente manera:

El problema de averiguar qué programas de computadora se detienen y cuáles no.

Lo que pasa con los programas de computadora es que, si se detienen, puede verlos en un tiempo finito (pero puede llevar demasiado tiempo esperar), y si no lo hacen, a veces puede probarlo (pero puede llevar demasiado tiempo para hacerlo). encontrar la prueba, o el sistema de axiomas podría ser demasiado débil). Estas cosas son absolutas y se refieren solo a números enteros y operaciones que son claramente significativas. Lo único que posiblemente no tenga sentido aquí es el límite del tiempo infinito, pero supondré que puedes aceptar el más suave de todos los infinitos.

Para ver que esta definición incluye casi todas las matemáticas ordinarias, considere cualquier conjetura C y pregunte:

¿Los axiomas de ZF (o ZF+cardinales grandes) implican C?

Esta pregunta es sobre la detención de un programa de computadora; está preguntando:

Considere el programa de computadora DEDUCE, que comienza con los axiomas de ZF y aplica la lógica, y si encuentra el enunciado C, se detiene. ¿DEDUCE se detiene?

Si puede resolver el problema de la detención, sabrá qué teoremas son consecuencias de ZF.

Pero esto no es todo en matemáticas, como puede ver al tomar la declaración "C" como "el programa R no se detiene", donde R es el código del programa DEDUCE. Esta construcción prueba el teorema de Gödel.

El teorema de Godel no es una limitación de las matemáticas, y la interpretación de Chaitin probablemente sea completamente falsa. Si agrega el axioma de que el programa anterior no se detiene (esto es equivalente a la consistencia de los axiomas de ZF), entonces obtiene un sistema más fuerte. Iterar la construcción de Gödel sobre todos los ordinales computables contables (del tipo que puede manipular en una computadora), por lo que sabemos, prueba todos los teoremas de la forma "El programa P no se detiene" (e incluso con oráculos, de modo que produce la respuesta a todas las cuestiones matemáticas).

El proceso de iteración hace que el sistema de axiomas sea más complejo y permite que incluso las preguntas de Chaitin sean respondidas (probablemente lentamente, solo cuando el ordinal se vuelve lo suficientemente complejo como para tener una complejidad computacional mayor que la complejidad del programa que desea probar es de longitud mínima). Esto hace que las matemáticas sean incompletas en el extremo superior: debe proporcionar descripciones cada vez más precisas de los grandes ordinales contables.

Este punto de vista coloca a los cómputos en los cimientos, ya que a diferencia de cualquier otro concepto fundamental, el concepto de cómputo es independiente de los axiomas --- es cómputo de Turing en todas las definiciones razonables. Expresar computacionalmente todas las cuestiones matemáticas aclara cuándo son comprobables, y las representaciones computacionales de los modelos de la teoría de conjuntos hacen evidente que Banach Tarsky es tan falso como verdadero, ya que se puede forzar de cualquier manera.

La mejor manera de deshacerse de la enfermedad de Godel es la siguiente:

• Análisis ordinal: Este es el programa de Hilbert con un nuevo nombre. Está vivo y bien en Alemania. Está buscando a tientas probar la consistencia de ZF a partir de un ordinal contable grande. Un aspecto destacado de esto es la teoría de conjuntos de Kripke-Platek, que, a diferencia de ZF, tiene una complejidad ordinal que se comprende por completo.
• Forzamiento de Cohen: este es el análisis de los modelos de la teoría de conjuntos, pero que permite agregar nuevos elementos al modelo que ocurren en cualquier conjunto donde tiene un número infinito de opciones binarias para seleccionar un elemento (como el conjunto de reales, que tienen un número infinito de dígitos binarios). Forzar hace que sea obvio que Banach Tarsky también podría ser falso (ZFC no es preciso en el modelado de los reales intuitivos), puede tomar cada subconjunto de R medible, puede hacer que la hipótesis del continuo sea verdadera o falsa y, en general, se vuelve absolutamente indecidible preguntas sobre todas las colecciones que son demasiado grandes para enumerarlas en una computadora.
• Matemáticas inversas: trata de identificar la fuerza axiomática exacta de cada teorema en matemáticas

Cada una de estas son cosas razonablemente activas en lógica, pero no se anuncian porque los lógicos tienden a hablar en una jerga oscura y se guardan las cosas para sí mismos al erigir altas barreras de entrada en su campo. Puedes encontrar una buena introducción a la lógica, y especialmente al forzamiento, en el libro de Manin. Hay buenos artículos en inglés en línea (de la escuela alemana) sobre análisis ordinal, y Harvey Friedman es el fundador del programa de matemáticas inversas.

Si comienza aprendiendo el teorema de completitud, este es el primer paso para deshacerse de la enfermedad de Gödel, que no es el dilema insuperable que parece ser.

Las matemáticas no se basan en suposiciones.

La mayoría de las matemáticas de uso común es sí, pero no como un todo. Si observa todo el tema matemático, encontrará que se exploran todos los conjuntos posibles de suposiciones , lo que equivale a ninguna suposición. Las matemáticas no se reducen a un conjunto de axiomas que todo el mundo sigue; de ​​hecho, la gente está explorando casi todos los sistemas axiomáticos y reglas de deducción posibles. Lo que se ha observado , sin embargo, es que muchos de estos sistemas no son interesantes o no proporcionan estructuras fructíferas, y que muchas de las matemáticas que necesitamos o en las que estamos interesados ​​se pueden hacer con un pequeño conjunto común de suposiciones.

Para probar el punto de que no usamos ninguna suposición, intente escribir un sistema determinista de cualquier tipo. A menos que haya refutado la tesis de Church-Turing, su sistema ya es descriptible por nuestro sistema matemático y probablemente isomorfo a algún modelo ya descubierto. ¿Cómo sería posible que podamos modelar y describir cualquier sistema que haga sobre cualquier suposición, si nuestro sistema se basa en suposiciones y creencias estrechas?

En una palabra:

Uno puede considerar desafortunado que los absolutos de las matemáticas sean condicionales.

¡Sin embargo, es más satisfactorio regocijarse de que los condicionales de las matemáticas sean absolutos!

[A riesgo de responder lo contrario a mi pregunta original...]

"Reductio ad absurdum, que Euclides amaba tanto, es una de las mejores armas de un matemático. Es un gambito mucho mejor que cualquier juego de ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón o incluso una pieza, pero un matemático ofrece el juego." - GHHardy, Apología de un matemático (Londres 1941).

Las matemáticas no solo se cuestionan a sí mismas sobre su integridad y consistencia, sino que intentan diagnosticar las "paradojas, la circularidad y la relatividad" a través de una variedad de aparatos. Ver el tema en términos de jerarquía sería perder el punto. Un lógico va un paso más allá y pregunta si el tema se basó en creencias, ¿existen grados de tales creencias y medios para cuantificarlas? A diferencia de otras ciencias el matemático debe desconfiar de la demostración, pero refutar si la hipótesis es indemostrable. Una posible reformulación sería si las matemáticas se basan en la intuición, en lugar de las creencias, lo último con la connotación de una epistemología vaga de deseos de un universo donde la lógica puede colapsar. (Vladimir Voevodsky en su video: ¿Y si los fundamentos actuales de las matemáticas son inconsistentes?señaló que los aviones aún no caerían del cielo a pesar de todo).

Además, el tema también ha abierto muchas avenidas (lógica modal, teoría de la información, teoría de la incertidumbre, redes neuronales, autómatas celulares y, por supuesto, metalógica), que el término general pasa por alto en la pregunta original, lo que ayuda a dar forma a nuestra comprensión y ampliar nuestro horizonte. .

Se puede encontrar un ángulo interesante para analizar esta pregunta en el libro "Cómo piensan los matemáticos" de William Byers.

Su afirmación es que la ambigüedad (definida como la existencia de dos marcos explicativos totalmente incompatibles para un fenómeno dado... es decir, una fuerte o dualidad) da lugar a ideas matemáticas (principios organizadores que incorporan la ambigüedad). Si puedo tomarme la libertad con esto... las matemáticas se tratan de encontrar creativamente esquemas interpretativos que incorporen visiones del mundo aparentemente incompatibles.

Esto tiene implicaciones interesantes para la naturaleza de la problemática en matemáticas. Atiyah dijo una vez que si hacemos una pregunta, estamos en camino de responderla. Además, creo que Wittgenstein afirmó que podemos responder cualquier pregunta que podamos hacer. (Estoy seguro de que estoy parafraseando mal aquí.) La dualidad de pregunta-respuesta quizás deba ser superada por un enfoque creativo de las matemáticas. La problemática de entretener a P y no a P simultáneamente para abrir su ser (ver Verdad y método de Gadamer) se aplica a los problemas matemáticos, creo. Ver el tema de esta manera trasciende las tontas cuestiones fundamentales que rodean, por ejemplo, la finalidad de 1+1=2. Las matemáticas se tratan más de descubrir nuevas formas de pensar agudamente sobre el mundo... y este proceso nunca se agota.

Mencionas que ya consideraste el intuicionismo, pero esta es mi versión favorita específica del intuicionismo.

Las matemáticas son la rama más antigua de la psicología. Identifica y clasifica las intuiciones, cosas que a los humanos les cuesta aceptar una vez que las encuentran. Y lo hace empíricamente, al buscar en la mente de los humanos cosas que asumen automáticamente, dadas intuiciones previamente identificadas, y contrastando lo nuevo con lo establecido.

Por supuesto, todas las intuiciones básicas no son consistentes, por lo que las matemáticas buscan un conjunto máximo consistente de los principios expresables más simples, como cualquier otra ciencia empírica. Nos gusta que nuestros inventarios de hechos científicos sean parsimoniosos, elegantes, compactos y reducibles.

La cualidad polémica de rechazar cosas como los infinitos completos y la doble negación proviene de esta suposición de que las cosas serán inconsistentes y que las matemáticas que tenemos podrían serlo ya. Es posible que tengamos que retroceder ante las cosas que conocemos actualmente, de la misma manera que retrocedimos ante los infinitesimales o la suposición pitagórica de la conmensurabilidad universal. Por lo tanto, no debemos suponer lo contrario confiando en hechos que aún no hemos investigado.

Brouwer y Kleene no plantean las cosas de esta manera, pero tienen un psicologismo completo, a partir de la derivación de las intuiciones iniciales del estudio del tiempo por parte de Brouwer, y su insistencia en que las formalizaciones de Heyting no tenían sentido y pasaban por alto los aspectos centrales del descubrimiento matemático.

Puede reinterpretar la experiencia de las matemáticas como una actividad creativa libre, el enfoque en el constructivismo, la búsqueda de intuiciones alternativas del infinito, etc. consistentemente en estos términos de buscar en la mente y correlacionar lo que encontramos entre los individuos.

Así que sí, surge de la nada. Está lleno de suposiciones sin fundamento, precisamente porque la interacción entre las suposiciones que surgen naturalmente en los humanos es su tema.

Esto reivindica el formalismo de una manera nueva e interesante, al tiempo que reconoce que su objetivo final declarado no tiene sentido. Los conjuntos de axiomas son suposiciones sin fundamento: todo lo que puede hacer razonablemente con ellos es determinar cómo encajan las ideas. Pero no queremos estudiar todos los conjuntos de axiomas posibles, eso sería una pérdida de tiempo. Queremos identificar los que podemos controlar bien y combinar de manera productiva.

Usted ha preguntado cuál es el "fundamento" de las matemáticas o (dicho de otra manera) en qué se "basan" las matemáticas. verdades universales? ¿Construcción social?

¿Puedo sugerirle que lea de dónde vienen las matemáticas de Lakoff y Núñez y qué son realmente las matemáticas de Reuben Hirsh ? .

Estas fuentes anteriores sugieren una tercera forma de interpretar "basado en", derivada de la ciencia cognitiva: estudiemos matemáticas de la misma manera que estudiaríamos cualquier otra área del comportamiento, la forma en que podríamos estudiar el matrimonio o la música o cualquier otra actividad humana interesante. Cuando preguntamos en qué "se basa" una actividad humana, las preguntas relevantes podrían ser estas: ¿Por qué empezamos a hacer matemáticas? ¿Para qué usamos las matemáticas? ¿Cómo resuelven las personas los problemas matemáticos? ¿Cómo visualizamos o "pensamos sobre" las matemáticas? ¿Cómo se relaciona esto con otras actividades humanas? ¿Cómo evolucionaron las ideas a lo largo de la historia?

Desde esta perspectiva, las matemáticas son una gran estructura construida sobre las actividades humanas, desde los problemas que necesitábamos resolver, desde las situaciones en las que nos encontramos. Contiene cosas como "espacio" porque la gente vive en el espacio. Nos gusta pensar en todo como "objetos" en "clases" porque vivimos en un mundo donde las plantas y los animales vienen en "especies", donde las rocas vienen en "tipos", etc. Utiliza "afirmaciones" en secuencias lineales porque las personas se comunican en secuencias lineales de expresiones. Los objetos y problemas matemáticos están profundamente conectados con el mundo, con nuestro cerebro y nuestro cuerpo. Reflejan muchas características que se derivan del espacio, el tiempo, la secuencia, el movimiento, la clasificación, la comunicación, etc.: cosas que el cerebro y el cuerpo humano hacen automáticamente.

Esto es en lo que se "basan" las matemáticas. Aquí es donde "comienza". El mundo nos dio nuestro primer conjunto de problemas y objetos matemáticos y nuestros cerebros y cuerpos nos dieron nuestro primer conjunto de operaciones y algoritmos matemáticos. No se trata de "construcciones sociales" débiles ni de "verdades universales" subyugadas. Son el mundo real en el que todos vivimos, y son innegables para cualquier persona en su sano juicio.

En este mundo, el mundo real, los "axiomas" no son lo primero, son lo último : desarrollados muchos años después, mejorados con el tiempo, algo así como un programa de computadora que la gente ha optimizado gradualmente a lo largo de los siglos.

Me gusta cuando WVO Quine dijo "debemos comenzar en el medio". No podemos comenzar nuestra investigación en el fondo del universo y trabajar hacia arriba, ni al principio del universo, ni con las intenciones de Dios, ni con la primera ley universal de toda la naturaleza. Debemos comenzar nuestra investigación aquí y ahora, en el medio, con cosas ordinarias del tamaño del cuerpo humano, haciendo cosas ordinarias de manera ordinaria, donde las intuiciones construidas en nuestro cerebro parecen funcionar perfectamente. A partir de ahí, usando la metáfora o la extensión, podremos pensar en cosas más grandes, cosas más antiguas, cosas más generales, cosas abstractas,... todas las cosas "extraordinarias". Lo extraordinario sólo puede investigarse pensando en él en términos de lo ordinario.

Creo que usar el término creencia oculta el hecho de que podríamos tener una intuición del mundo. Incluso si los juicios sintéticos a priori de Kant son cuestionados por la lógica formal moderna, su idea sigue siendo muy interesante. Entonces, en lugar de creer, si usamos el término intuición, podemos considerar que no formulamos hipótesis sobre el mundo al azar, sino que tenemos un conocimiento a priori de él. Aceptando este punto de vista, más general que el juicio sintético a priori, los supuestos que utilizamos para construir las matemáticas están guiados por la intuición del mundo que tenemos, son la herramienta que utilizamos para obligar a la Naturaleza a responder a nuestras preguntas, como lo utilizó Kant. decir. Podríamos ver en los sistemas disipativos, el teorema de incompletitud de Goedel o la relatividad general la evidencia de nuestra intuición del mundo y el límite inherente a la lógica formal o determinismo: ni nuestra mente ni el mundo del que tenemos la intuición están limitados por teorías, no somos sofisticadas máquinas de memoria de acceso aleatorio eventualmente reducidas al determinismo y la lógica formal. De lo contrario, hay un artículo más sólido y muy bien estructurado en Standford Encycopedia of Phyiosophy sobrejuicio sintético y analítico

Solemos pensar que las matemáticas se basan en "axiomas". Pruebas algo comenzando con axiomas (o con teoremas que otras personas ya han probado) y usando lógica válida para derivar todo lo que puedas.

La gente suele decir que los axiomas son proposiciones evidentes, o incluso simples suposiciones, pero creo que tiene mucho más sentido pensar en ellos como definiciones. Definamos 4 como 3 + 1, 3 como 2 + 1 y 2 como 1 + 1. También definamos (x + y) + z como x + (y + z). Ahora bien, es posible que nuestras definiciones se contradigan; tal vez hayamos definido lo mismo dos veces, de formas incompatibles. Pero más sobre esto en un momento. Mira lo que podemos derivar de estas definiciones:

4 = 3 + 1       (by definition of 4)
  = (2 + 1) + 1 (by definition of 3)
  = 2 + (1 + 1) (by definition of +)
  = 2 + 2       (by definition of 2)

Auge. Hemos probado que 2 + 2 = 4, usando nada más que definiciones. Ahora solo queda una pregunta: ¿y si nuestras definiciones se contradicen?

Bueno, con toda probabilidad, no se contradicen entre sí. En matemáticas, el conjunto "estándar" de axiomas básicos, ZFC, existe desde hace un tiempo y nadie ha encontrado nunca una contradicción en él. Es probable que nadie lo haga.

Entonces, las matemáticas pueden tener paradojas, pero solo en el sentido de cosas que son verdaderas pero contrarias a la intuición. No hemos logrado probar ninguna contradicción real . Y es posible definir todo en matemáticas sin circularidad. Puede definir las cosas circularmente (al estilo de "Lo que la tortuga le dijo a Aquiles"), pero no es necesario.

Cualquier sistema de lógica se basa en axiomas indemostrables; esa es simplemente la naturaleza del axioma. Sin embargo, eso no hace que todos los puntos de partida posibles sean iguales.

Hay una historia en el universo. Se podría decir que ese es el a priori a partir del cual uno podría hacer una base real para las matemáticas y la espiritualidad.

Lo que puedo decirles a partir de mis propias investigaciones personales es que las matemáticas son interesantes porque sus axiomas básicos se derivan de toda la historia de la conciencia en relación con el universo. Ahora bien, no puedo probarte esto en este foro excepto para decirte que debido a esto, la física y las matemáticas tienden a cumplir. Pero considera los axiomas no creencias ni suposiciones, sino acuerdos entre DIOS y nosotros (quizás por eso el símbolo de "igual" son dos líneas paralelas de igual longitud).

¿Asunción como en fe ciega? No. Pero la "suposición" de que necesitamos una percepción racional más allá de las pruebas formales, sí.

La "suposición" de que los sistemas de axiomas carecen de contradicción interna (= uno puede derivar tanto un teorema como su negación de los axiomas) suele ser necesaria para las matemáticas. Esa sería la respuesta fácil.

Más difícil es la cuestión de las matemáticas aplicadas, porque obviamente las matemáticas se aplican directamente en muchos casos, no solo como una herramienta de una ciencia claramente empírica como la física.

Si juntamos 1 l de un químico azul y 1 l de un químico rojo y creamos una mezcla púrpura, las matemáticas no pueden decirnos, por supuesto, que obtendremos 2 l de la mezcla púrpura. Pero lo curioso es que si conseguimos, digamos, 1,8 l de mezcla morada, no nos encogemos de hombros como "¡Bueno, las matemáticas no tienen nada que ver con la realidad de todos modos!", No, buscamos un explicación, como una reacción química o causas físicas, para este “comportamiento anormal”. Las operaciones matemáticas habituales, desde +, -, /, * hasta diferenciación e integración, parecen reflejar un "comportamiento ideal" abstracto del mundo real, y eso es algo que no se puede justificar empíricamente. Pero para que alguien llame a esto fe ciega debe haber desarrollado una fuerte alergia a cualquier cosa que se parezca un poco al racionalismo.