¿Se pueden reducir las matemáticas a axiomas y lógica arbitrarios?

La empresa de reducir las matemáticas a la lógica se llama logicismo . Ha habido dos objetivos diferentes en esta empresa, el primero es reducir solo la aritmética de los números naturales , que en muchos sentidos es la parte más fácil y básica de las matemáticas. La otra es reducir todas las matemáticas, o al menos todo lo que podamos, a un conjunto de axiomas (considere algo como la teoría de conjuntos ZFC ).

El logicismo, históricamente, estuvo liderado por Frege , Dedekind y Peano , entre otros. Peano es más famoso por dar un conjunto de axiomas que permiten la construcción de los números naturales y la aritmética, mientras que Dedekind es posiblemente más famoso (al menos en términos de esta conversación) por descubrir lo que se llama cortes de Dedekind , particiones de los números racionales. que permiten la construcción de números reales. Frege se propuso simplemente formar una base lógica para la aritmética, al mismo tiempo que desarrollaba las herramientas y los lenguajes de la lógica moderna en el proceso:

En su libro de 1879, Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens , desarrolló un cálculo de predicados de segundo orden y lo usó tanto para definir conceptos matemáticos interesantes como para enunciar y demostrar proposiciones matemáticamente interesantes. Sin embargo, en su trabajo de dos volúmenes de 1893/1903, Grundgesetze der Arithmetik , Frege agregó (como un axioma) lo que pensó que era una proposición lógica (Ley Básica V) y trató de derivar los axiomas y teoremas fundamentales de la teoría de números a partir de la sistema resultante. Desafortunadamente, la Ley Básica V no solo falló en ser una proposición lógica, sino que el sistema resultante demostró ser inconsistente, ya que estaba sujeto a la Paradoja de Russell.

El logicismo ha estado sujeto a una serie de reveses, algunos tan devastadores que muchos filósofos creen que el programa nunca podrá tener éxito. Uno de ellos es la debilidad de la lógica de segundo orden y cómo la Ley Básica V de Frege no pudo hacer lo que esperaba que hiciera, derivar toda la aritmética. Incluso si la ley no estuviera sujeta a la paradoja de Russell, todavía tiene un problema ontológico evidente: el problema de Julio César . En esencia, el problema dice que algo como el principio de Hume (que es muy similar a la Ley Básica V) no puede proporcionar una razón epistémica suficiente de por qué deberíamos sacar números de nuestras definiciones arbitrarias:

[Gl, §55:] ... pero nunca podemos - para tomar un ejemplo crudo - decidir por medio de nuestras definiciones si algún concepto tiene el número Julio César que le pertenece, o si ese conquistador de la Galia es un número o no lo es. [de la traducción de Austin en Frege 1974]

En última instancia, muchos creen que la concepción original del logicismo de Frege no es un paradigma que pueda funcionar (aunque hay un interés renovado, ver neo-logocismo ).

Hay dos, tal vez tres, otros problemas evidentes para reducir las matemáticas a la lógica. Vienen en forma de los dos teoremas de incompletud de Gödel y la indefinibilidad de la verdad de Tarski .

Los axiomas de Peano resultan estar sujetos a los dos teoremas de incompletitud de Gödel. El primer teorema (para ser breve) establece que cualquier sistema formal, es decir, un conjunto de axiomas dentro de una lógica deductiva, está sujeto a lo que se denominan oraciones de Gödel. Estas oraciones que son verdaderas (semánticamente) pero indemostrables (sintácticamente) dentro del sistema mismo. Gödel logró este teorema al dar una forma generalizada de construir estas oraciones en cualquier sistema formal que sea lo suficientemente fuerte como para formalizar la aritmética de Robinson (una forma de aritmética más débil que los axiomas de Peano). La aritmética de Presburger es un sistema formal de aritmética que no contiene multiplicaciones y no está sujeto al primer teorema de incompletitud de Gödel.

Esto trae a colación algo importante. Lo que es realmente notable aquí es que el resultado de Gödel no se trata necesariamente de las matemáticas en sí (a menos que creas que las matemáticas son estrictamente lógica disfrazada); en esencia, sus resultados se refieren a los sistemas formales mismos, oa la lógica misma. Los resultados son sintácticos., lo que significa que se trata de la sintaxis, las reglas del sistema, y ​​no de la semántica, el significado que le atribuimos al sistema. Los sistemas formales son solo un montón de reglas y símbolos arbitrarios hasta que les damos significado, y los resultados de Gödel básicamente dicen: "Si tienes este conjunto de reglas o algo más fuerte que él, puedes derivar este conjunto de oraciones". No importa el significado que les demos, que el sistema esté hablando de números y aritmética. Antes de que introduzcamos cualquier tipo de contenido semántico en la teoría, las oraciones de Gödel seguirán estando allí porque están construidas de forma puramente sintáctica. Este es un tema importante para el logicismo, porque muestra que cualquier tipo de sistema lógico tendrá enunciados verdaderos sobre los números naturales, enunciados que sabemos que son verdaderos, pero que no se pueden probar en nuestra teoría.

El segundo teorema de incompletitud de Gödel dice que "ningún conjunto consistente de axiomas (con suficiente fuerza) puede probar su propia consistencia". Otra forma de leerlo es que "cualquier sistema de axiomas suficientemente fuerte que pueda probar su propia consistencia es inconsistente". Los dos resultados combinados dicen que "Cualquier sistema consistente con al menos la fuerza suficiente para definir la aritmética de Robinson no puede estar completo debido a sus oraciones de Gödel y no puede probar su propia consistencia". El sistema puede ser consistente, pero no podemos formular una prueba de eso dentro del propio sistema.

Como resultado de estos dos teoremas, nosotros, como matemáticos y filósofos, tenemos que tratar nuestros sistemas axiomáticos con cautela. Muchos creen que la aritmética de Peano y la teoría de conjuntos ZFC son consistentes, sin embargo, solo creemos eso porque hemos pasado tantos años estudiándolas y aún no hemos encontrado una oración inconsistente. Hacemos ese juicio puramente por inducción (y un poco de meta razonamiento, parece muy poco probable que ZFC sea inconsistente), pero no tenemos pruebas formales dentro de los sistemas mismos de que sean consistentes. Sin embargo, puede encadenar pruebas de consistencia de sistemas más pequeños y débiles, pero esto solo empuja el problema epistémico de la consistencia más arriba en la cadena. ZFC puede probar la consistencia de PA; una teoría de conjuntos diferente llamada NBGes consistente si y solo si ZFC es consistente; una teoría de conjuntos aún más fuerte llamada MK puede probar la consistencia de ZFC; y así. Sin embargo, en cada paso tenemos que asumir que la teoría superior es consistente para creer en la prueba de consistencia de la teoría inferior. Eventualmente, los sistemas a los que llegamos son tan grandes que no podemos tener suposiciones razonables sobre su consistencia. Debido al segundo teorema de incompletitud de Gödel, nunca habrá una teoría del techo que pueda probar su propia consistencia y pueda usarse para probar todas las teorías más débiles.

El teorema de indefinibilidad de Tarski es muy similar a los teoremas de Gödel, excepto que se enfoca en la definibilidad de la verdad. Así como Gödel muestra que un sistema formal no puede mostrar su propia consistencia, Tarski muestra que un predicado que define cuándo una oración es verdadera no puede formularse dentro de un sistema en sí mismo y debe provenir de algún otro "meta" sistema. El estudio de metasistemas de este tipo, el tipo que permite una definición de la verdad, se denomina teoría de modelos , que Tarski encabezó. Sin embargo, sus resultados finalmente muestran que nunca puede haber una teoría que contenga los medios para mostrar que sus oraciones son verdaderas porque la "verdad" de sus propias oraciones nunca puede definirse dentro de sí misma.

Entonces, la empresa del logicismo se ha topado con algunos inconvenientes. Algunas personas, a saber, los neologicistas (incluido yo mismo), creen que los resultados de Gödel y Tarski no excluyen necesariamente una reducción definitiva de las matemáticas a la lógica; más aún, se cree que siempre quedarán algunas cosas fuera de la teoría y algunas suposiciones que tenemos que hacer pero que no podemos probar. El artículo de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford vinculado al comienzo de esta respuesta agrega muchos más detalles a las objeciones filosóficas a las teorías del logicismo y vale la pena leerlo para obtener una mejor comprensión de este tema. Habiendo dicho todo esto, se cree que la consistencia de ZFC es cierta y los matemáticos no tienen ningún problema, en la práctica, para confiar en esta suposición. Casi universalmente se considera una prueba matemática verdadera si puede formular su teorema como una oración derivada de ZFC. Sin embargo, hay algunos lógicos que no creen que ZFC sea consistente. El recién fallecido lógico y matemáticoJack Silver expresó claramente su opinión de que ZFC es inconsistente y trabajó vigorosamente para construir una prueba; sin embargo, no tuvo éxito.

En última instancia, muchos creen que no es posible reducir por completo todas las matemáticas a la lógica, dados los resultados de Gödel y Tarski. Algunos todavía lo hacen; sin embargo, a partir de este momento, ningún programa logicista ha hecho exactamente lo que aquellos como Frege y Peano desearon que hiciera.