¿El trilema de Münchausen se aplica a las matemáticas?

El trilema de Münchausen a menudo se presenta como una especie de argumento escéptico, que pretende mostrar que el conocimiento, la demostración, cierta creencia o algo relacionado con esto es imposible. Pero puede ser más útil simplemente pensar en ello como una bifurcación en el camino. Si comienza con la idea ingenua de que las creencias requieren justificación, y que tal justificación toma la forma de una creencia, entonces le quedan tres posibilidades. 1. Tu cadena de creencias justificativas retrocede hasta el infinito. 2. Tus creencias se justifican de forma circular. 3. Su idea ingenua debe ajustarse para permitir excepciones, es decir, una colección de creencias fundamentales que no requieren justificación. Por supuesto, también puede tomar el paso más drástico de rechazar por completo la demanda de justificación, lo que hacen algunos filósofos.

La misma estructura surge en otros contextos. Si comienzas con la idea de que todos los eventos tienen una causa, y una causa en sí misma es un evento, entonces llegas al mismo tipo de trilema. O hay una regresión infinita de causas, o un patrón circular de causas, o una colección privilegiada de uno o más eventos sin causa que son la excepción. Lo mismo sucede con los significados de las palabras. Si todas las palabras tienen una definición, y la definición se da en palabras, entonces necesitaría una regresión infinita de definiciones, o las definiciones serán circulares, o habrá algunas palabras que son fundamentales y no requieren una definición.

Señalar el trilema no sirve como argumento de que el concepto de causa es defectuoso, o que las palabras no pueden tener definiciones, simplemente dice que aquí hay una bifurcación de tres vías en el camino y debemos elegir o rechazar las suposiciones. que nos llevó a este camino. En el caso de las causas, se han defendido las tres opciones. En el caso de las definiciones, la opción circular parece más plausible: si buscas una palabra en un diccionario y luego buscas los definiens , te encontrarás dando vueltas en círculos. No hace que el diccionario sea inútil.

En el caso de la epistemología, abundan los defensores de la segunda y tercera opción. A la segunda opción se le denomina cohe- recentismo , ya la tercera fundacionalismo . Los coherentes sostienen que no existe una justificación no circular de las creencias, por lo que lo más que podemos esperar es una red consistente de creencias que esté de acuerdo con nuestras observaciones y experiencias. Los fundamentalistas sostienen que algunas creencias son irrefutables e indudables. Para los racionalistas, estos podrían ser principios fundamentales de la razón; para los empiristas, estos podrían tomar la forma de algún tipo de fenomenalismo.

Las matemáticas no escapan al trilema. Un formalista podría decir que simplemente está jugando un juego de manipulación de símbolos, y que no hay justificación para jugar este juego, pero esta variedad extrema de formalismo no parece hacer justicia a la pura utilidad de las matemáticas. Las teorías matemáticas tienen interpretaciones bajo las cuales sus oraciones son verdaderas o falsas. Entonces, tiene sentido preguntar cómo justificamos el razonamiento matemático, y surgen las mismas tres opciones. Los diferentes enfoques de la filosofía de las matemáticas, a saber, el platonismo, el formalismo, el intuicionismo, el logicismo, el convencionalismo, el estructuralismo, el constructivismo, el ficcionalismo, el empirismo, etc., dan diferentes respuestas a esta pregunta epistemológica.

Si bien las matemáticas hacen uso de la lógica, esto no resuelve el problema, ya que solo nos invita a preguntarnos a su vez cómo justificamos la lógica. Aproximadamente una vez al año en este sitio, alguien pregunta si es posible justificar la lógica deductiva, y aunque hay mucho que decir, por ejemplo, aquí y aquí, en última instancia, no hay una justificación no circular.

Pero como percibo, esto no se aplica a las matemáticas: en realidad no necesitamos que los axiomas sean verdaderos, independientemente de lo que quiera decir con "verdadero". Los axiomas son solo axiomas. O los aceptas y haces la teoría o propones otros axiomas y haces una teoría diferente.

Un formalista puro puede intentar afirmar esto, pero falla porque uno necesita asumir al menos algunas propiedades básicas de cadenas binarias finitas (o equivalente) para poder hablar de manera significativa incluso sobre FOL simple (lógica de primer orden), por no decir sistemas axiomáticos más complicados. Digo más en este post .

Así que todos (excepto aquellos que desaprueban completamente el razonamiento lógico) deben creer en la verdad de algunos axiomas básicos sobre cadenas binarias finitas, como TC (teoría de la concatenación) (dada aquí ). Este es el mínimo indispensable. Pero esto abre la puerta a preguntas naturales sobre si otras oraciones sobre TC (con mayor complejidad de cuantificadores) también son significativas y si también tienen valores de verdad booleanos. En cierto sentido, la respuesta a esta pregunta determina si eres un finitista estricto o no. Si duda de que haya algo más allá de las cosas puramente finitarias, entonces puede quedarse atrapado solo con TC. Pero si cree que cuantificar todas las cadenas binarias finitas conserva las declaraciones booleanas, entonces obtiene TC más inducción, que es equivalente aPA (Aritmética de Peano) .

Eso no es todo. Hay algunos hechos fundamentales de la lógica, como la integridad semántica de FOL para teorías contables y la incompletitud sintáctica de los sistemas formales que pueden interpretar TC. El primero simplemente no se puede probar sin un poco de aritmética de segundo orden más allá de PA. Se puede argumentar que el segundo requiere aritmética de segundo orden para tener un significado genuino, aunque PA en sí mismo puede resultar una versión codificada adecuadamente. Digo más sobre esto aquí . Tenga en cuenta que el lógico Peter Smith también señala que cualquiera que acepte PA debe aceptar también ACA .

ACA es en realidad muy bajo en la " jerarquía " general de los sistemas fundamentales para las matemáticas modernas. Sin embargo, resulta que cada aplicación conocida de las matemáticas en el mundo real se puede expresar como una oración que se puede probar en ACA y, a la inversa, cada teorema de ACA parece ser cierto cuando se interpreta adecuadamente sobre el mundo real (al menos a escala humana). , por lo que en realidad tenemos buena evidencia empírica para esta parte de las matemáticas, y tal evidencia es realmente necesaria para proporcionar significado y propósito a las matemáticas más allá de la mera introducción formal de símbolos.

En otras palabras, es insostenible decir que las matemáticas son tan arbitrarias como las reglas del ajedrez. Y entonces tenemos que enfrentarnos a la cuestión de si el sistema fundacional que elegimos es de hecho significativo, razón por la cual las consideraciones anteriores son todas importantes.

¿Qué pasa con las matemáticas superiores que se ocupan de objetos muy abstractos? Bueno, los lógicos que se han preocupado por el significado de los fundamentos generalmente han estado de acuerdo en que los conceptos predicativistas pueden alcanzar aproximadamente ATR0 (que está un poco más allá de ACA pero no cerca de Z2). Dado que agregar principios de cierre puede alcanzar aproximadamente Π[1,1]-CA0, algunos podrían argumentar que Π[1,1]-CA0 también es cierto, pero ese es un terreno inestable. Lo que está claro es que Z2 es impredicativo, por lo que uno puede dudar legítimamente de su significado incluso si cree que es consistente.

Por otro lado, a los matemáticos promedio no les importa el predicativismo y suelen decir que usan ZFC. Lo que la mayoría de ellos no sabe es que las matemáticas ordinarias se mantienen naturalmente dentro de un fragmento muy débil de ZFC conocido como ZFC acotado , donde en términos generales puede tener símbolos de función incorporados para emparejamiento, conjunto de potencia, unión y constante incorporada ω , y puede construir cualquier conjunto de la forma { E : x∈S ∧ ... ∧ y∈T ∧ Q } donde E es un término y Q es una fórmula con solo cuantificadores acotados. Un cuantificador acotado en la teoría de conjuntos tiene la forma "∀x∈A" o "∃x∈A", donde A es un término.

Si garantizamos que los conjuntos de potencia completos sean significativos, superaremos a Z2, ya que la cuantificación impredicativa sobre el conjunto de potencia de ℕ no sería un problema. Pero incluso entonces no parece haber ninguna forma no circular de justificar mucho más que ZFC acotado. Alcanzar la ZFC completa requiere creer en el significado de la cuantificación impredicativa sobre todo el universo teórico de conjuntos (completo), y esa impredicatividad también implica que no podemos usar la concepción iterativa para justificar la ZFC completa.

Si le pregunta a los matemáticos ordinarios si creen que sus teoremas son verdaderos o simplemente el estado final de un juego de empujar símbolos, lo más probable es que le digan que creen que sus teoremas son, en cierto sentido, verdades que descubrieron . Pero como se explicó anteriormente, incluso esa evidencia del trabajo matemático real solo alcanza el ZFC acotado. Por supuesto, los lógicos modernos a menudo usan todo el poder impredicativo de ZFC, especialmente cuando estudian ZFC en sí mismo, pero no todos creen que existe un "verdadero universo de teoría de conjuntos" (lo que sea que eso signifique).

Entonces, no, ¡realmente no puedes escapar de la cuestión del significado y la verdad sin importar cuán bajo o alto mires en la 'jerarquía' de los fundamentos de las matemáticas!

Las matemáticas, como todo lo que podemos pensar coherentemente, se basa en el razonamiento lógico, y el razonamiento lógico se basa en nuestras intuiciones lógicas, y la más destacada entre ellas es la intuición de que las verdades lógicas son, bueno, verdaderas, por ejemplo, el modus ponens, el modus tollens. , la transposición, el silogismo hipotético, etc. Sin estas intuiciones lógicas fundamentales, y sin el hecho de que todos los matemáticos las tienen, no habría matemáticas en absoluto (aunque tampoco existiría el ser humano). Por lo tanto, no existe una diferencia fundamental entre lo que la gente considera conocimiento empírico y lo que a veces se denomina "ciencias a priori". Los hechos en los que se basa cada ciencia pueden ser a veces diferentes, pero todas las ciencias se basan en hechos, y nuestras intuiciones lógicas son hechos.

Por supuesto, es correcto partir de los hechos, incluido el hecho de que la lógica es la única forma de razonamiento que conocemos y todos compartimos, pero es cierto que el razonamiento matemático solo puede justificarse suponiendo que la lógica es la forma adecuada de razón, una suposición que parece imposible de justificar sin recurrir a un argumento circular, evidencia empírica o la afirmación de que sabemos que el razonamiento lógico es válido y la única forma válida de razonamiento.

Por lo tanto, es cierto que los matemáticos en realidad no necesitan axiomas para ser verdaderos, pero la mayoría de las personas pasan por alto el hecho de que ningún teorema se deriva nunca de los axiomas. Las matemáticas las hacen los seres humanos y requieren que los seres humanos tengan una capacidad lógica, algo que en esencia no es diferente de la necesidad de tener sentidos de percepción.

La noción de que la lógica es una ciencia a priori es un malentendido. La lógica formal es una ciencia a priori, y solo en la forma limitada en que no requiere absolutamente que el lógico observe el mundo material porque los lógicos tienen que ser conscientes de sus propias intuiciones lógicas, por ejemplo, la intuición de que el modus ponens es verdadero. . Así, la lógica formal es una ciencia a priori pero la lógica no lo es porque la lógica es una facultad mental y la lógica formal sólo se puede hacer experimentando subjetivamente las intuiciones lógicas. Y esto también se aplica a las matemáticas.

No, este es un concepto erróneo popular que surge del estudio de los sistemas axiomáticos. La verdad es más compleja.

El sistema axiomático primordial es el de Euclides. Es bien claro que aquí parte de axiomas que considera indudablemente verdaderos. Estas son las que Descartes llamó "ideas claras y distintas".

La noción moderna de un sistema axiomático que no tiene relación con la verdad, sino que es meramente autoconsistente, surgió con Hilbert. Ahora se entiende que esto es meramente sintaxis o gramática y, por lo tanto, no se refiere al significado. Y tal sistema formal debe referirse a algún mundo exterior si se quiere establecer la verdad. Esto es lo que se estudia en la teoría de modelos, que es el estudio moderno de los sistemas axiomáticos qua sistemas axiomáticos.

Por lo tanto, no, un sistema deductivo simple no requiere verdad, simplemente requiere consistencia. Sin embargo, requiere un modelo para establecer la verdad. Y para los sistemas deductivos axiomáticos reales siempre se da el caso de que buscamos y encontramos modelos.

La presentación del trilema involucra algunos presupuestos que socavan su contundencia cuando se enuncia explícitamente. El error 'obvio' es que al presentar el trilema, el presentador usa el razonamiento para 'mostrar' por qué cada cuerno del trilema es insatisfactorio. Sin embargo, la falla más profunda involucrada es asumir que solo una de las bocinas es satisfactoria, si es que alguna lo es.

Hemos superado esto con cosas como el foundherentismo o el coherenteismo infinito de Susan Haack , donde encontramos dos de los cuernos del trilema fusionados. Personalmente, no veo ningún obstáculo moral (al menos hablando del evidencialismo como una especie de tesis moral) para que las tres soluciones positivas al problema de la regresión sean admisibles a su manera.

Y así, en matemáticas, creo que en realidad encontramos (a) la solución al trilema como se presenta clásicamente y (b) una aplicación de esta solución a las matemáticas mismas. (a) proviene de glosar el problema de la regresión en una especie de forma 'algebraica' y luego sostener que todas las soluciones positivas 'existen' de la misma manera que 'sabemos que la unidad imaginaria existe porque es la solución a un problema dado'. ecuación.' (El escepticismo termina siendo la 'solución vacía', que es más o menos cómo se enmarca el problema en la lógica de la justificación.) Y luego, en cuanto a (b), la aplicación se sigue rápidamente desde una ventaja fuertemente teórica de grafos, pero de manera más intrigante (para mí) se sigue si concebimos las formas de los conjuntos en términos de las soluciones de regresión. Es decir, existe una similitud estructural entre el fundacionalismo y los conjuntos bien fundados, entre el cohesionismo y los conjuntos en bucle (por ejemplo, los átomos de Quine), y entre el infinitismo y las cadenas ∈ descendentes infinitas; entonces, ¿por qué no tener una teoría de conjuntos con las tres formas de conjuntos, la existencia de cada forma justificada como interpolante del respectivo tipo de justificación? Esto quizás equivaldría a una teoría de conjuntos de triple extensión (que se aferra a la elementalidad como la esencia de la extensionalidad), y si ni siquiera se sabe que la teoría de conjuntos de doble extensión es consistente, a fortioritampoco lo es su 'sucesor' inmediato en el espacio conceptual. Pero tal vez la cuestión de las pruebas de consistencia absoluta o relativa no surge para la teoría de conjuntos de triple extensión de la misma manera que surge para otras teorías de conjuntos (aunque tenga en cuenta que la teoría de conjuntos de doble extensión se introdujo como una "manera de eludir" la problemática del conjunto de Russell, que aquí advierte una función desde/hacia estructuras de justificación bien fundamentadas, después de todo).

Tratar de resolver la maldición de las estadísticas es un objetivo menos noble de lo que parece. Después de "Digo que todo es único en un universo fundamentalmente digital" tiene su lugar y es utilizable como tal. El único gran error al tratar con estadísticas es el intento de extraer declaraciones objetivamente válidas de ellas. Más hoy que en cualquier otra época de la historia humana, la humanidad sufre bajo la mala interpretación de los resultados estadísticos. Es la apreciación de la incertidumbre que se pierde en el camino mientras las personas buscan temerosamente una noción de verdad.

Entonces, ¿existe la verdad absoluta en las matemáticas? No, no lo hay. Uno más uno no es igual a dos, nunca lo fue y nunca lo será, pero eso no hace que las matemáticas sean inútiles.

¿Se aplica el trilema de Münchhausen en matemáticas? Sí, por supuesto que lo hace. Puede arrastrarlo una docena de universos paralelos por el camino y aún se aplicará. Todo depende de la apreciación de la existencia de un concepto fantástico llamado infinito, que la mayoría cree religiosamente que existe, a pesar de que nadie lo ha visto o estado allí. En el instante en que ahogas esa idea, todas las opciones resultan perfectamente compatibles.

Su preocupación es absolutamente válida, pero solo puede satisfacerse asegurándose de que el resultado de su trabajo siembre un suelo de firme comprensión de (la) verdad detrás de la incertidumbre. El poder de poder determinar hasta qué punto no sabes nada con certeza. Y si no puedes enseñar a los nadadores a surfear, oa las tortugas a volar, al menos ayúdalos a respetarlo correctamente, para que no crean que están a salvo de malentendidos rezando al dios del condón.

Recientemente vi a los líderes de mi país en la televisión nacional hablar ante la asamblea de representantes de los pueblos, condenando a millones de ciudadanos perfectamente inocentes, culpándolos por el caos actual con estadísticas mal interpretadas como su principal argumento. Fueron aplaudidos. Es espeluznante.

El a priori , por definición, no puede ser probado por ningún sistema de lógica que se construya sobre él. Entonces, ¿qué nos da la claridad de nuestras propias proposiciones y conclusiones?

La respuesta es la historia del universo. Esto es compartido por todos los seres dentro de él. Acerca de esto, hay mucho que explicar, pero todo es conocido y tiene que ver con la evolución de YHVH (proporcionando un anillo de razonamiento del universo) y la nuestra. A partir de esto, el axioma de identidad (A=A) surgió de un acuerdo entre estos dos y el álgebra. Se puede considerar que las dos líneas paralelas del signo igual representan este acuerdo entre dos partes iguales de la razón.

Lo que les acabo de revelar proviene de la profecía mesiánica de los judíos y no encontrarán ninguna referencia al respecto.

Su pregunta toca el punto interesante: ¿En qué se diferencian las matemáticas de la ciencia?

La respuesta corta: los resultados generales de las matemáticas se pueden probar, los resultados generales de la ciencia se pueden confirmar o refutar, pero no probar.

En cuanto a los tres cuernos del trilema de Muenchhausen:

• Un argumento circular descalifica cualquier razonamiento matemático.

• El camino regresivo es la única manera de probar teoremas matemáticos: Uno tiene que reducir la afirmación por argumentación lógica a los axiomas y definiciones.

• El argumento dogmático puede usarse como heurístico y puede ser interesante desde un punto de vista histórico. Pero usar declaraciones dogmáticas como argumento para el razonamiento matemático destruiría el razonamiento matemático.

La razón más profunda por la que las matemáticas no tienen problemas con el trilema de Muenchhausen: las matemáticas no hacen ninguna afirmación general sobre el mundo exterior. Por lo tanto, las matemáticas son libres de crear sus propios conceptos y axiomas, como crear las reglas de un nuevo juego.