Leer los libros menos técnicos de Alain Connes (con coautores) Conversations on Mind, Matter, and Mathematics (1995) y Triangle of Thoughts (2001) me dejó especialmente impresionado con su visión platónica de las matemáticas que asume la existencia de una realidad matemática arcaica fuera del espacio. -tiempo aún tan inagotable como la realidad física normal.
Me pregunto si sus argumentos específicos se basan en una escuela establecida dentro de la filosofía (no solo el platonismo en la filosofía de las matemáticas en general) o si desencadenaron un trabajo de seguimiento por parte de los filósofos. Si existe tal escuela o trabajo (en la realidad física normal, es decir :), ¿quiénes son los principales exponentes y qué artículos o libros podría consultar para una presentación más detallada?
Aquí hay algunas citas relevantes de los dos libros:
Tomemos, por ejemplo, los números primos, que para mí constituyen una realidad más estable que la realidad material que nos rodea [...]
[Si consideramos el teorema de incompletitud de Gödel] desde un ángulo diferente, es decir, afirmando que las proposiciones verdaderas sobre números enteros positivos no pueden reducirse, por medio de la inferencia lógica, a un número finito de axiomas, se puede ver que implica que el la cantidad de información contenida en el conjunto de todas esas proposiciones verdaderas sobre números enteros positivos es infinita. Yo les pregunto: ¿no es esa la característica distintiva de una realidad independiente de toda creación humana? [...]
Lo que me fascina de la realidad matemática, y del esfuerzo que hace el ser humano por tratar de entender los objetos que la pueblan, es que muchas veces es posible caracterizar un objeto particular hasta el isomorfismo por sus propiedades [...] Yo sería Creo que es muy difícil hacer afirmaciones similares sobre la realidad física externa. ¿Cómo podría incluso la tierra, por ejemplo, nuestro propio planeta, definirse protectoramente? Se podría decir que es el tercer planeta de un sistema que gira alrededor de una estrella situada en el brazo espiral de una galaxia, pero obviamente esto no lo diferencia de un gran hombre de otros planetas [...]
Todas las conclusiones lógicas a las que llegamos por razonamiento deductivo pertenecen, en mi opinión, a un sistema de pensamiento proyectivo [...] Las propiedades verdaderas o no verdaderas de los números enteros, por contrato, pertenecen a la realidad arcaica [...] Éstos equivalen a hechos verificados experimentalmente sobre la realidad arcaica [...]
Me parece que una característica indiscutible de la realidad externa es que constituye una fuente constante de información que, si bien no es inmediatamente comprensible para el cerebro, por supuesto, no es reducible al pasado [...] Cada segundo que pasa en un volumen dado va a producir un cierto número de nuevos bits de información que son irreductibles al pasado [...] Para mí este es uno de los atributos básicos de la realidad externa [...]
La realidad es una fuente de información en el sentido de que constantemente surgen cosas que no se pueden reducir a eventos pasados, cosas que son realmente nuevas [...]
Para mí, nuestra capacidad de comprender el mundo físico externo implica que existe una realidad matemática arcaica que existe en pie de igualdad con la realidad física externa [...] Lo extraordinario de la conceptualización matemática es que somos capaces de concebir un universo como objeto de cuatro dimensiones, no tenemos que situarlo dentro de un espacio dimensional más grande. Podemos imaginarlo intrínsecamente, por así decirlo, en sus propios términos […] ¡Ya no hay causalidad, porque ya no hay tiempo! Una vez que adoptas esta forma de ver el mundo exterior, la noción de causalidad es simplemente una de las características del modelo matemático del universo. Ya no hay obstáculo para concebir esta realidad matemática arcaica como algo que existe junto al universo.
(Las ideas de Connes sobre el tiempo subjetivo también parecían bastante inspiradoras y potencialmente profundas).
La mayor parte de esto parece ser un platonismo matemático bastante genérico, pero una cosa que me llamó la atención, y parece que vale la pena dar una respuesta específica, es la siguiente:
Lo que me fascina de la realidad matemática, y del esfuerzo que hace el ser humano por tratar de entender los objetos que la pueblan, es que muchas veces es posible caracterizar un objeto particular hasta el isomorfismo por sus propiedades [...] Yo sería Creo que es muy difícil hacer afirmaciones similares sobre la realidad física externa. ¿Cómo podría incluso la tierra, por ejemplo, nuestro propio planeta, definirse protectoramente? Se podría decir que es el tercer planeta de un sistema que gira alrededor de una estrella situada en el brazo espiral de una galaxia, pero obviamente esto no lo diferencia de un gran hombre de otros planetas [...]
Esto parece sugerir una especie de estructuralismo . Connes parece bastante claro que, una vez que hemos caracterizado un objeto matemático hasta el isomorfismo , lo hemos identificado de forma única (en contraste con el caso de la tierra). Es decir, y hablando en términos generales, no hay objetos matemáticos distintos, pero isomorfos; los objetos isomorfos son idénticos . Y esto, o algo así, es uno de los principios clave de los estructuralismos de varios tipos. El artículo vinculado anteriormente es un buen comienzo en esto. Un artículo más reciente que desarrolla esta idea central (en una dirección bastante técnica, ¡tenga cuidado!) es 'Estructuralismo, invariancia y univalencia' de Steve Awodey ( enlace )
Mozibur Ullah
Drux
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