Teorema del punto fijo de Brouwer: caso continuo

El teorema del punto fijo de Brouwer establece para el caso continuo que,

Cada aplicación continua$G: D^n \rightarrow D^n$tiene un punto fijo

No entiendo completamente la prueba de J. Milnor.

La prueba se hace por contradicción. Asumimos$G$no tiene puntos fijos.

Entonces$\forall x \in D^n$,$||x - G(x)|| > 0$. Lo sabemos$D^n \subset R^n$. Entonces$D^n$es compacto significa que$D^n$es cerrado y acotado.

Por lo tanto, la aplicación que calcula la distancia entre$x$y$G(x)$,

alcanzar su valor mínimo para$||x - G(x)|| = \delta > 0$

Por el teorema de aproximación de Stone-Weierstrass,$\exists$un polinomio,

de$n$variables y$n$componentes tales que$G$sea ​​el límite uniforme continuo de una sucesión de polinomios$P_k$y entonces podemos suponer que existe un polinomio$P$"lo suficientemente cerca" de$G$,

Sabemos por la desigualdad triangular inversa,

Entonces,

Dejar$\hat{P}(x) \equiv \frac{P(x)}{||P(x)||} \geq \frac{P(x)}{\delta / 2 + 1}$que es suave.

Entonces calculamos que,

Debo concluir que esta última expresión es$< \delta$y concluir que$\hat{P}$no tiene puntos fijos que contradigan el teorema del punto fijo de Brouwer para el caso suave. No sé cómo hacer eso. ¿Cómo puedo terminar esta prueba?