Si dos curvas solo se tocan, ¿técnicamente se "intersecan"?

En el juego de los brotes, dibujas "líneas" entre "puntos". Las líneas no tienen que ser rectas, por lo que podríamos llamarlas arcos o curvas. Pero sigamos llamándolos líneas, simplemente dándonos cuenta de que no nos referimos a "línea recta".

La pregunta es, ¿una línea en brotes tiene un grosor?

El dibujo de una línea obviamente tiene un grosor, de lo contrario no podríamos verlo. Incluso puede medir aproximadamente el grosor de una línea que dibuje. Dado que el dibujo de una línea tiene un grosor, cubre un área en el plano.

Por otro lado, una curva matemática entre dos puntos no tiene espesor y no cubre área en el plano.

Si las líneas tienen un grosor mínimo (como lo tienen sus dibujos), no hay suficiente espacio entre las líneas roja y azul para dibujar otra línea. La línea verde debe cruzarse con la línea roja o azul (o ambas) porque necesariamente se superpondrá una línea u otra si intenta dibujar una línea verde a través de ese espacio.

Por otro lado, si consideramos las líneas como curvas matemáticas en un plano continuo, entonces los dibujos que haces son solo aproximaciones de las curvas; las curvas reales corren en algún lugar por la mitad de los dibujos de ellos. En esa interpretación, podemos afirmar que las líneas rojas y azules no se cruzan (las líneas reales pasan en algún lugar cercano, pero aparte, del lugar donde se cruzan los dibujos de ellas). Si dos curvas corren una al lado de la otra de esta manera sin intersecarse, siempre es posible pasar una tercera curva a través del espacio entre las dos curvas. Su dibujo de la línea verde podría verse como un esquema de cómo se organizarán realmente las curvas ideales. Visto así, el movimiento debería considerarse legal.

Por cierto, en esa interpretación incluso el hecho de que los dibujos de las líneas rojas y azules se toquen se consideraría un artefacto del dibujo y no una intersección real.

Dado que este juego fue inventado por matemáticos, tendería a pensar que se referían a las "líneas" como curvas matemáticas en lugar de objetos con un grosor y un área en el plano. Otro argumento a favor de este punto de vista es que aparentemente el juego pretende ser un juego de lógica en lugar de un juego que depende de la habilidad de dibujo. Hay enunciados matemáticos sobre la duración de un juego que parecen depender de esta interpretación; en particular, creo que la fórmula para la longitud mínima no es cierta si consideras que las líneas tienen grosor.

Como cuestión práctica, la buena etiqueta en el juego parece requerir que al dibujar una línea, deje suficiente espacio para que se dibujen líneas adicionales. El jugador azul debería haber trazado la línea mucho más lejos del punto, y la línea roja debería haberse trazado a mitad de camino entre el punto y la línea azul.

Un término técnico para "simplemente tocar" es "tangencia". En el uso común de la palabra "intersección" y también en la página de Wikipedia en inglés para "tangente" , esto aún contaría como una intersección. Tampoco creo que este tipo de movimiento esté permitido en Sprouts, solo basándome en cómo se analizó el juego.

Un punto de intersección no tangente sería una intersección transversal .

Aquí hay dos círculos que se tocan (tienen exactamente un punto en común). Cuando se ven como conjuntos de puntos en el plano, se "intersecan" en el sentido de que el conjunto de puntos comunes no está vacío. Sin embargo, no se cruzan en el sentido de "cruzarse": el círculo más pequeño está completamente dentro del más grande (también podría estar completamente fuera). Las líneas rectas no pueden tocarse sin intersecarse en este sentido más fuerte (excepto en los extremos, pero técnicamente son "segmentos de línea"), pero las líneas no rectas sí pueden.

Ahora sobre los brotes. Si toma "intersección" para tener un sentido más fuerte, su versión de las reglas de brotes podría prohibir las líneas que se intersecan, o podría prohibir las líneas que se tocan (excepto los puntos finales, por supuesto). Pero de cualquier manera, Red no puede evitar que Green pase:

• Si las líneas no pueden tocarse, habrá un canal, por pequeño que sea, por el que la línea verde pueda pasar.
• Si se permite que las líneas se toquen pero no se crucen, bueno, Green puede dibujar una línea que toque las líneas roja y verde en el mismo punto en que se tocan entre sí, ¡y pasar sin cruzarse con ninguna!