Transformar de un sistema de coordenadas global a uno local

¡Muchas gracias! Estoy probando un caso: tube.geogebra.org/student/m1110279 Plano desde: Punto: $C = (-4, 2, 1)$Vector normal: $H = \langle-0.12, -0.24, 0.86\rangle$Punto A en el plano: $A = (2.67, -1.51, 0.95)$calculo: $a = arcsin(H_2) = 1.03$ $A = \begin{cases} 2\pi - \frac{H_1}{cos(a)}, & \text{if A $\lt$ 0} \\ \frac{H_1}{cos(a)}, & \text{if A $\ge$ 0} \end{cases} = 4.22$ $u_1 = \langle-0.47, -0.88, 0\rangle, u_2 = \langle0.76, 0.4, 0.22\rangle$Y por ultimo: $x_e = 6.12$, $y_e = 3.63$Pero $\lVert e\rVert = 7.22 \ne \lVert CE\rVert = 7.54$¿Me equivoqué en algo?

@T81: Parece que su $H$no es un vector unitario. (Para arreglar esto, divida $H$por $\|H\|$. :) Posiblemente como resultado, $u_{1}$y $u_{2}$no son vectores unitarios. (Con $u_{1}$el problema puede ser un error de redondeo, pero $\|u_{2}\| \approx 0.8866$.) En realidad, su $u_{1}$y $u_{2}$tampoco son ortogonales...

Supuse que conocías la altitud y el acimut de tu avión. :) En lugar de usar funciones trigonométricas inversas: Si $n = (a, b, c)$es un vector unitario, entonces $$u_{1} = \frac{(-b, a, 0)}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}},\qquad u_{2} = n \times u_{1} = \frac{(-ca, -cb, a^{2} + b^{2})}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}.$$ Entonces usa $x_{P} = (P - C) \cdot u_{1}$y $y_{P} = (P - C) \cdot u_{2}$.

¡Excelente! En efecto $H$no era un vector unitario. Cuando convertí y procedí con las funciones de activación inversa o usando la recomendación anterior, obtuve $x_e = 7.54$, $y_e = -0.16$y $\lVert e\rVert = 7.54$. En realidad, prefiero evitar las funciones trigonométricas inversas. ¡Gracias de nuevo! :)

Por si quiero el resultado $x_e = -7.54$, $y_e = +0.16$puedo ir: $u_1 = \frac{(b, -a, 0)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$?

@T81: "Sí". :) (Con más detalle, multiplicando $u_{1}$por $-1$también multiplica $u_{2} = n \times u_{1}$por $-1$, lo que cambia los signos de ambas coordenadas.)