¿Mostrar que este conjunto AAA es cerrado, acotado y no compacto?

Dejar

$$l^1(\mathbb{N}) = \left\{ (x_n)_n \mid \sum_{n = 0}^{\infty} | x_n | \ \text{converges} \right\},$$ el espacio de todas las sucesiones cuyas series asociadas convergen absolutamente. En este espacio consideramos la métrica $$d_1((x_n)_n, (y_n)_n) = \sum_{n = 0}^{\infty} |x_n - y_n|.$$ Ahora considere el subconjunto $$A = \left\{x \in l^1(\mathbb{N}) \mid d_1(x,0) = 1 \right\}.$$ necesito demostrar que $A$es cerrado, acotado y no compacto.

Te agradecería si me señalas los errores que cometí.

Intentar:

Cerrado: dejar$(x_n)_n$ser una secuencia en$A$, tal que$(x_n) \rightarrow (y_n)$Para el$d_1$métrico, donde$(y_n)_n \in l^1(\mathbb{N})$. quiero demostrar que$(y_n)_n \in A$, es decir, que$d_1(y_n,0) = 1$. Dejar$\epsilon > 0$. Desde$(x_n) \rightarrow (y_n)$, existe un$n_0 \in \mathbb{N}$tal que

$$\sum_{k=n_0 +1}^{\infty} |x_k - y_k| < \epsilon/2.$$ Así que por la desigualdad del triángulo $$\sum_{k=n_0 +1}^{\infty} |y_k| \leq \sum_{k=n_0 + 1}^{\infty} |y_k - x_k | + \sum_{k=n_0 +1}^{\infty} |x_k| < \epsilon/2 + \sum_{k=n_0 +1}^{\infty} |x_k|$$ Resulta que $$\sum_{k=0}^{\infty} |y_k| = \sum_{k=0}^{n_0} |y_k| + \sum_{k=n_0+1}^{\infty} |y_k| < \epsilon/2 + 1$$ desde $\sum_{k}^{\infty} |x_k| = 1.$Desde $\epsilon > 0$fue arbitrario, esto demuestra que $\sum_k |y_k| = 1$y entonces $(y_n)_n \in A.$

Acotado: Let$M=2$. Dejar$x,y \in A$. Entonces$d_1(x,y) \leq d_1(x,0) + d_1(0,y) = 1 + 1 = 2 = M.$Por eso$A$está ligado.

No compacto: quiero encontrar una secuencia en$A$que no tiene subsecuencia convergente, o una cubierta abierta de$A$que no tiene una subcubierta finita. Pero me falta inspiración aquí en este momento. Cualquier ayuda es apreciada.