Conjunto abierto y puntos límite

Algunos consejos:

1. Es más fácil demostrar que$A$es la preimagen de un conjunto abierto en$\mathbb{R}$.
2. Como$A$Esta abierto,$a \in \partial A$no es un elemento en$A$, de este modo$f(a) \leq 0$. Por continuidad, sabemos que para cada$\epsilon > 0$hay un$\delta > 0$, tal que por cada$x \in B(a, \delta)$, tenemos$|f(x)| < \epsilon$. Pero también sabemos que hay algunos$x \in B(a,\delta) \cap A$, por lo que obtenemos$0 < f(x) < \epsilon$. Con esto podemos obtener una sucesión$(x_n) \subset A$, convergiendo a$a$, tal que$f(x_n) = \frac1n$. Por continuidad nuevamente vemos que$f(a) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim \frac1n = 0$.
3. Trate de encontrar un ejemplo para el cual$a$está en el límite del conjunto$B := \left\{ x \in M \mid f(x) < 0 \right\}$, pero no en$\partial A$. Luego, por argumentos similares a los de 1. y 2.,$B$está abierto, y$f(a) = 0$, pero$a \notin A$.

1. Simplemente puedes decir que$A=f^{-1}\bigl((0,+\infty)\bigr)$. Desde$f$es continuo y$(0,+\infty)$Esta abierto$A$Esta abierto.
2. Si$a\in\partial A$, entonces no podemos tener$f(a)>0$, porque entonces$a\in A=\mathring A$, desde$A$Esta abierto. Y no podemos tener$f(a)<0$porque si$B=\{x\in M\,|\,f(x)<0\}$entonces$B$está abierto (al igual que$A$) y$a\in B$. Entonces, hay un$r>0$tal que$B_r(a)\subset B\subset A^\complement$y por lo tanto$a\notin\partial A$.
3. Llevar$M=\mathbb R$y deja$d$ser la distancia habitual. Definir$f(x)=x^3-3x-2$. Entonces$f(-1)=0$, pero$A=(2,+\infty)$. Por lo tanto,$-1\notin\partial A$.

Para 1 usa el hecho de que$A$es la preimagen de un conjunto abierto bajo un mapeo continuo.

Para 2 encontrar una secuencia en$A$que convergen a$a$(¿por qué puedes hacer eso?) y usa la continuidad de$f$. Necesitará saber qué sucede con los puntos límite en funciones continuas.

Con el recíproco en 3 quieres decir que$f(a)=0$No implica$a\in \partial A$¿o que quieres decir?

1. Como$f$es continuo y el conjunto$(0, \infty)$está abierto entonces el conjunto$f^{-1}(0, \infty)$debería estar abierto. Pero$f^{-1}(0, \infty)=A$
2. De la misma manera podemos demostrar que el conjunto$B = \{x\in M \mid f(x) < 0\}$Esta abierto. Ahora que pasa si$f(a)\neq0$?
3. puedes tomar$g=0$