Espacios Métricos Completos y Convergencia

$\textbf{Question}$:

Dejar$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$sea ​​una sucesión en un espacio métrico completo$(X, d)$tal que

$$\sum_{n \in \mathbb{N}} d(x_n, x_{n+1}) < +\infty.$$ Muestra esa$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$converge y esto ya no es cierto si asumimos que$\sum_{n \in \mathbb{N}} d^{2}(x_n, x_{n+1}) < +\infty.$

$\textbf{Solution}$:

Creo que he mostrado la convergencia en el caso en que$\sum_{n \in \mathbb{N}} d(x_n, x_{n+1}) < +\infty$usando la desigualdad triangular en$d(x_n, x_{n+m})$para cualquier$(n,m) \in \mathbb{N}^2.$Más explícitamente,

$$(\forall n \in \mathbb{N})(\forall m \in \mathbb{N}) ~~~~ d(x_n, x_{n+m}) \leq \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} d(x_{n + k}, x_{n+k+1}) \leq \sum\limits_{k = n}^{+\infty} d(x_{k}, x_{k+1}) \leq \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} d(x_{k}, x_{k+1}) < +\infty.$$ Por eso,$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$es Cauchy.

Sin embargo, tengo problemas para proporcionar un contraejemplo para el caso en el que solo tenemos$\sum_{n \in \mathbb{N}} d^{2}(x_n, x_{n+1}) < +\infty.$Idealmente, me gustaría generar alguna secuencia en un espacio métrico completo$(X, d)$dónde

$$(\forall n \in \mathbb{N}) ~~~~ d(x_n, x_{n+1}) = \frac{1}{n+1}$$ (nótese que adopto la convención de que$\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \}$). Esto me permitiría apelar al hecho de que$\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n + 1}$diverge pero$\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{(n + 1)^2}$converge Cualquier ayuda es apreciada.