Necesito ayuda con un problema relacionado con la n-ésima derivada de arcsen x

Necesito ayuda con un problema. Por contexto, la sección del libro de texto en la que se encuentra el problema es sobre series de potencias. Tenga en cuenta que el libro de texto utiliza la convención de que$f^{(n)}$representa el$n$la derivada de$f$, y$f^{(0)}(x) = f(x).$Ahora expondré el problema exactamente como se indica en el libro de texto:

Considere la función$f$definido por$f(x) = \arcsin x$, para$\lvert x \rvert \leq 1$. Los derivados de$f(x)$satisfacer la ecuación$(1 - x^2)f^{(n + 2)}(x) - (2n + 1)xf^{(n + 1)}(x) - n^2 f^{(n)}(x) = 0$, para$n \geq 1.$

El coeficiente de$x^n$en la serie Maclaurin para$f(x)$se denota por$a_n$. Puede suponer que la serie solo contiene poderes impares de$x$.

$\textbf{a.1)}$Demuestre que, por$n \geq 1, (n+1)(n+2)a_{n+2} = n^2 a_n.$

$\textbf{a.2})$Dado que$a_1 = 1$, encuentre una expresión para$a_n$en términos de$n$, válido para impares$n \geq 3.$

$\textbf{b})$Encuentre el radio de convergencia de esta serie de Maclaurin.

$\textbf{c})$Encuentre un valor aproximado para$\pi$poniendo$x = \frac{1}{2}$y sumando los tres primeros términos distintos de cero de esta serie. Da tu respuesta a$\textbf{four}$personajes importantes.

estoy atascado$\textbf{a.1}$. La forma en que está formulada la pregunta me hace pensar que se supone que no debes usar los derivados reales de$\arcsin$para resolverlo, pero no puedo averiguar cómo hacerlo. Yo sé eso$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$, así que estaba pensando que si puedo encontrar una fórmula para la n-ésima derivada de$f(x)$, debería estar listo para irme. sé la derivada de$f(x)$:

$f^\prime(x) = \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1- x^2}}$. Desde aquí, también puedo encontrar fácilmente las derivadas segunda, tercera, etc. Sin embargo, cuando trato de llegar a una forma para el$\textit{nth}$derivado, tengo un problema. Se me ocurrió la siguiente fórmula:

$\frac{d^n}{dx^n}\arcsin x = (-1)^n \prod\limits_{k = 0}^n \left(\frac{1}{2} - k\right)$.

Desafortunadamente, no tengo idea de cómo probar desde aquí, ya que no sé cómo evaluar el producto.$\prod\limits_{k = 0}^n \left(\frac{1}{2} - k\right)$. De todos modos, no creo que este sea el enfoque correcto, ya que mi libro de texto aún no se ocupa de los productos, solo de las sumas. ¿Alguien puede ayudar con$\textbf{a.1}$?