Evaluar límites usando una serie

Estoy tratando de usar una serie de Taylor centrada en 0 para evaluar este límite:

límite X → ∞ 4 X 3 ( mi − 2 X 3 − 1 )

Reescribí la función como su serie Maclaurin:

4 X 3 ( mi − 2 X 3 − 1 ) = ∑ k = 1 ∞ 4 X 3 − 2 k X 3 k !

En forma expandida:

∑ k = 1 ∞ 4 X 3 − 2 k X 3 k ! = 4 X 3 − 2 X 3 + 4 X 3 − 4 X 3 2 ! + 4 X 3 − 6 X 3 3 ! + . . .

Como X va a ∞ , 2 X 3 va a 0 . Así, el límite del primer término es simplemente el límite de 4 X 3 , cual es ∞ . Basado solo en este hecho, asumiría que el límite de toda la serie es ∞ , pero aparentemente la respuesta es − 8 . ¿Qué hice mal?

Respuestas (2)

Como X → + ∞ , debería ser

4 X 3 ( mi − 2 X 3 − 1 ) = 4 X 3 ∑ k = 1 ∞ ( − 2 X 3 ) k k ! = 4 X 3 ( − 2 X 3 + o ( 1 / X 3 ) ) = − 8 + o ( 1 ) .
Entonces, ¿cuál es el límite?

¡Gracias! Veo lo que hice mal ahora. En lugar de sustituir X para − 2 X 3 , lo levanté como si fuera mi nuevo X valor eran un exponente. Siempre es un simple error que descarrila todo el proceso.
@CurticeGough ¡De nada! Cometer errores es una parte normal del aprendizaje ;-)

mi − 2 X 3 = 1 − 2 X 3 + ( − 2 X 3 ) 3 2 ! + ⋯ = 1 − 2 X 3 + O ( 1 X 6 )

Alternativamente, establecer − 2 X 3 = h encontrar

= − 4 ⋅ 2 límite h → 0 − mi h − 1 h

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