Serie de fracciones egipcias para 9970−2–√9970−2\frac{99}{70}-\sqrt{2}

Esta pregunta está motivada por la serie encontrada al responder ¿Cómo se genera la secuencia 1, 1.4, 1.41, 1.414?

Una serie rápida para$\sqrt{2}$viene dada por la fracción egipcia mencionada en la Wikipedia

$$\sqrt{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a(2^n)}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{204}+\frac{1}{235416}+\dots \right)$$

con denominadores definidos por$2^n$th términos de una relación de recurrencia de segundo orden

$$a(n)=34a(n-1)-a(n-2)$$ con $a(0)=0, a(1)=6$( secuencia OEIS A082405 ).

La forma cerrada correspondiente es

$$\sqrt{2}=\frac{3}{2}-\sum_{k=0}^\infty \frac{2\sqrt{2}}{(17+12\sqrt{2})^{2^k}-(17-12\sqrt{2})^{2^k}}$$

como se obtuvo en esta respuesta .

Una serie similar parece existir a partir de la más cercana convergente$\dfrac{99}{70}$, porque al aplicar el método babilónico a partir de$\dfrac{7}{5}$se obtiene la siguiente secuencia:

$$\frac{7}{5}, \frac{99}{70}, \frac{19601}{13860}, \frac{768398401}{543339720}, \frac{1180872205318713601}{835002744095575440},...$$

y la diferencia entre aproximaciones consecutivas tiene numerador unitario, aunque las fracciones no son convergentes consecutivas, por lo que de manera similar tenemos

$$\sqrt{2}=\frac{99}{70}-\frac{1}{13860}-\frac{1}{543339720}-\frac{1}{835002744095575440}-...$$

¿Existe una recurrencia subyacente que se pueda muestrear para obtener los denominadores de estas fracciones negativas?

Después de la respuesta

Fórmulas para$\dfrac{3}{2}-\sqrt{2}$(pregunta) y$\dfrac{10}{7}-\sqrt{2}$(de la respuesta) se puede escribir en términos de la proporción de plata y el índice a partir de$0$.

$$\sqrt{2} = \frac{3}{2} - \sum_{k=0}^\infty \frac{2\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})^{2^{k+2}}-(1-\sqrt{2})^{2^{k+2}}}$$

$$\sqrt{2} = \frac{10}{7} - \sum_{k=0}^\infty \frac{2\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})^{3·2^{k+1}}-(1-\sqrt{2})^{3·2^{k+1}}}$$

Preguntas relacionadas

Números$p-\sqrt{q}$teniendo desarrollos regulares en fracciones egipcias?

El método de Newton para raíces cuadradas 'salta' a través de los convergentes de fracciones continuas .