¿Cómo resuelves esta relación de recurrencia/la usas en una secuencia para encontrar su valor GIF?

La secuencia { X k } es definido por X k + 1 = X k 2 + X k y X 1 = 1 2 . Ahora, si [.] denota la mayor función entera, entonces cuál de las siguientes opciones es correcta:

A) [ 1 X 1 + 1 + 1 X 2 + 1 + . . . + 1 X 100 + 1 ] = 1

B) [ 1 X 1 + 1 + 1 X 2 + 1 + . . . + 1 X 101 + 1 ] = 1

C) Ambas opciones

D) Ninguna de las opciones

No tengo idea de cómo resolver esta suma. Traté de reemplazar 1 X k + 1 por X k X k + 1 , pero no llegó a ninguna parte. También traté de escribir cada término como

1 ( X k + 1 ) 2 − X k

y luego traté de convertirlo en una forma telescópica, pero no llegué a ninguna parte.

Cualquier ayuda será apreciada.

como conseguiste 1 ( X k + 1 + 1 ) 2 − X k ?
@ user236182 Lo siento, lo corrigí. Después de la corrección, se hace evidente que no se puede convertir en telescópico de esa forma. Culpa mía.

Respuestas (1)

Descubrí que no necesitas resolver la secuencia para responder la pregunta.

X k + 1 = X k 2 + X k = X k ( X k + 1 )
1 X k + 1 = 1 X k ( X k + 1 ) = 1 X k − 1 X k + 1
1 X k + 1 = 1 X k − 1 X k + 1
∑ k = 1 100 1 X k + 1 = ∑ k = 1 100 ( 1 X k − 1 X k + 1 ) = 1 X 1 − 1 X 101 = 2 − 1 X 101
X 3 > 1 → 1 X 102 < 1 X 101 < 1 X 3 < 1
∴ ⌊ ∑ k = 1 100 1 X k + 1 ⌋ = ⌊ ∑ k = 1 101 1 X k + 1 ⌋ = 1
Por lo tanto, la respuesta es "C) Ambas opciones".

¿Cómo resuelves esta relación de recurrencia/la usas en una secuencia para encontrar su valor GIF?
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