Verificar que el 2n2n2n-ésimo término en una sucesión de Fibonacci generalizada modificada de orden nnn es el n−1n−1n-1-ésimo número de Cullen

Estaba jugando con secuencias recursivas y me encontré con algo interesante.

Los números de Fibonacci comienzan con$F_1 = 0$,$F_2=1$, y continúa con$F_i = F_{i-1} + F_{i-2}$.

Los números de Tribonacci comienzan con$F_1 = F_2 = 0$,$F_3 = 1$, y continúa con$F_i = F_{i-1}+F{i-2}+F{i-3}$

Los números de orden de Fibonacci generalizados$n$Empezar con$F_1=F_2=\dots=F_{n-1}=0$,$F_n=1$, y para$i\geq n$,

$$F_i=\sum_{j=i-n}^{i-1}F_j.$$

Sin embargo, encuentro que los números que generan son aburridos, así que voy a inventar un nuevo conjunto de secuencias llamadas secuencias de Gibonacci. La relación de recurrencia es la misma que las sucesiones de Fibonacci, pero los valores iniciales son diferentes. Para la sucesión de orden de Gibonacci$2$, tenemos$G_1=G_2=1$y$G_i = G_{i-1}+G_{i-2}$. Asimismo, los números de Gibonacci generalizados de orden$n$tenemos$G_1=G_2=\dots=G_n=1$y para$i\geq n$,

$$G_i=\sum_{j=i-n}^{i-1}G_j.$$

Estoy particularmente interesado en el punto donde todos los valores iniciales se agotan, por así decirlo, el último número que se define en términos de uno de los valores iniciales. este seria el$2n$-ésimo término para una sucesión de orden de Gibonacci$n$. por ejemplo, cuando$n=2$, nuestra sucesión sería$1,\,1,\,2,\,\boxed{3},\dots$donde se destaca el número de interés. Para$n=3$, nuestra sucesión sería$1,\,1,\,1,\,3,\,5,\,\boxed{9},\,\dots$.

Lo que voy a hacer es definir una secuencia a partir de estos números a medida que subo para obtener los números de Gibonacci generalizados. definiremos$C_n$como$G_{2n}$dónde$G$la sucesión de orden de Gibonacci$n$. nuestra secuencia$C$Se ve como esto:

$$(1,\,3,\,9,\,25,\,65,\,161,\,385,\,\dots).$$

Parece ser el caso de que el$i$El término en esta secuencia es precisamente$(i-1)\cdot 2^{i-1}+1$. En otras palabras, ¡esta secuencia parece generar los números de Cullen!

Estoy muy convencido de que este patrón continúa para todos los números de la secuencia, pero no sabría cómo demostrar que este es el caso. Esa, en esencia, es mi pregunta: ¿cómo podemos probar que esta secuencia genera los números de Cullen ?