Recurrencia fn+2=afn+1+bfnfn+2=afn+1+bfnf_{n+2}=af_{n+1}+bf_n

Question

Recurrencia fn+2=afn+1+bfnfn+2=afn+1+bfnf_{n+2}=af_{n+1}+bf_n

cálculo
forma cerrada
Matemáticas
números de fibonacci
relaciones de recurrencia
secuencias y series

clatratus

Resuelve la recurrencia
$\begin{matrix} (1) & F_{norte + 2} = a F_{norte + 1} + b F_{norte} norte \in {norte}_{0} \end{matrix}$ $f_{n+2}=af_{n+1}+bf_n\qquad n\in\Bbb N_0\tag{1}$ Dónde $a,b>0$ y $f_0,f_1$ son dados.

yo se que si

F_{norte + 1} = C_{norte} F_{norte} + d_{norte}

$F_{n+1}=c_nF_n+d_n$ entonces

F_{norte} = F_{0} \prod_{k = 0}^{norte - 1} C_{k} + \sum_{metro = 0}^{norte - 1} d_{metro} \prod_{k = metro + 1}^{norte - 1} C_{k} .

$F_n=F_0\prod_{k=0}^{n-1}c_k+\sum_{m=0}^{n-1}d_m\prod_{k=m+1}^{n-1}c_k\ .$ Pero no estoy seguro de cómo encontrar una solución a la recurrencia en cuestión. Estoy bastante seguro de que existe una forma cerrada, porque la sucesión de Fibonacci

F_{n}

$F_n$ (que viene dada por el caso

a = b = f_{1} = 1

$a=b=f_1=1$ y

f_{0} = 0

$f_0=0$ ) tiene una solución explícita, a saber

F_{norte} = \frac{φ^{norte} - ψ^{norte}}{\sqrt{5}}

$F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}$ dónde

φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, ψ = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} .

$\varphi=\frac{1+\sqrt5}2,\qquad \psi=\frac{1-\sqrt5}2\,.$ Es cierto que no sé cómo probar dicho resultado, pero estoy seguro de que hay algún tipo de generalización de la prueba para resolver mi recurrencia.

He definido la función generadora

F (X) = \sum_{norte \geq 0} F_{norte} X^{norte}

$f(x)=\sum_{n\geq0}f_nx^n$ y demostrado que

F (X) = \frac{F_{0} + (F_{1} - a F_{0}) X}{1 - a X - b X^{2}} .

$f(x)=\frac{f_0+(f_1-af_0)x}{1-ax-bx^2}\ .$ Asi que por su puesto

F_{norte} = \frac{1}{norte!} {(\frac{\partial}{\partial X})}^{norte} \frac{F_{0} + (F_{1} - a F_{0}) X}{1 - a X - b X^{2}} |_{X = 0}

$f_n=\frac1{n!}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^n\frac{f_0+(f_1-af_0)x}{1-ax-bx^2}\,\Bigg|_{x=0}$ pero eso es demasiado ineficiente. ¿Hay una buena solución de forma cerrada para

(1)

$(1)$ ? Gracias.

lulú

El método habitual es estudiar el polinomio característico . Como esto es cuadrático en su caso, puede resolverlo todo de manera bastante explícita.

clatratus

@lulu, ¿podría mostrarme cómo (en una respuesta)?

lulú

Adjunto un enlace que funciona todo. Ese enlace usa la recursividad de Fibonacci como un ejemplo concreto.

usuario21820

Relacionado, la forma más eficiente de calcular el

n

$n$ -ésimo número de Fibonacci (o en general el

n

$n$ -th término de cualquier relación de recurrencia no trivial) es usar la forma matricial y el cuadrado iterado , en lugar de la forma cerrada, porque la exponenciación de irracionales con precisión arbitraria es en realidad muy costosa desde el punto de vista computacional.

Respuestas (1)

Recurrencia fn+2=afn+1+bfnfn+2=afn+1+bfnf_{n+2}=af_{n+1}+bf_n

El método habitual es estudiar el polinomio característico . Como esto es cuadrático en su caso, puede resolverlo todo de manera bastante explícita.
Adjunto un enlace que funciona todo. Ese enlace usa la recursividad de Fibonacci como un ejemplo concreto.
Relacionado, la forma más eficiente de calcular el $n$ -ésimo número de Fibonacci (o en general el $n$ -th término de cualquier relación de recurrencia no trivial) es usar la forma matricial y el cuadrado iterado , en lugar de la forma cerrada, porque la exponenciación de irracionales con precisión arbitraria es en realidad muy costosa desde el punto de vista computacional.

Steven Alexis Gregorio · Answer 1

Empiezas por encontrar dos sucesiones geométricas que resuelvan

\begin{matrix} (A.) & X^{norte + 2} = a X^{norte + 1} + b X^{norte} \end{matrix}

$x^{n+2} = ax^{n+1}+bx^n\tag{A.}$

Resolviendo para $x$ , obtenemos

\begin{aligned} X^{norte + 2} & = a X^{norte + 1} + b X^{norte} \\ X^{2} & = a X + b \\ X^{2} - a X - b & = 0 \\ X & = \frac{a \pm \sqrt{a^{2} + 4 b}}{2} \end{aligned}

$\begin{align} x^{n+2} &= ax^{n+1}+bx^n \\ x^2 &= ax+b \\ x^2 - ax -b &= 0 \\ x &= \frac{a\pm\sqrt{a^2+4b}}{2} \end{align}$

A partir de aquí, debemos suponer que $a^2+4b \ne 0$ .

Entonces $f_n = \alpha\left(\dfrac{a + \sqrt{a^2+4b}}{2}\right)^n + \beta\left(\dfrac{a - \sqrt{a^2+4b}}{2}\right)^n$

resolverá $f_{n+2}=af_{n+1}+bf_n$ para todos $n \ge 0$ .

Todavía tenemos que resolver $f_0 = \alpha + \beta$ y $f_1=\alpha\left(\dfrac{a + \sqrt{a^2+4b}}{2}\right) + \beta\left(\dfrac{a - \sqrt{a^2+4b}}{2}\right)$ para $\alpha$ y $\beta$ , pero eso es relativamente trivial.

Recurrencia fn+2=afn+1+bfnfn+2=afn+1+bfnf_{n+2}=af_{n+1}+bf_n

clatratus

lulú

clatratus

lulú

usuario21820

Respuestas (1)

Steven Alexis Gregorio

Suma de una serie que involucra potencias de números de Fibonacci.

Verificar que el 2n2n2n-ésimo término en una sucesión de Fibonacci generalizada modificada de orden nnn es el n−1n−1n-1-ésimo número de Cullen

¿Qué función hace ∑∞n=0(−1)n(2n)!(1−2n)n!24nxny2n∑n=0∞(−1)n(2n)!(1−2n)n!24nxny2n\sum_{ n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}\frac{x^n}{y^{2n}} corresponden a ?

¿Hay algo más en esta relación con los números de Fibonacci?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Demostrando la aproximación de forma cerrada de la relación de recurrencia Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

Números de Fibonacci solución a esta relación de recurrencia

Demuestra que la sucesión está acotada por debajo por 2–√2{\sqrt 2}

Demostración de límites en un producto infinito

¿Nuevas identidades para los números de Fibonacci generalizados?