Un problema de recurrencia simple: Ln=Ln−1+nLn=Ln−1+nL_n=L_{n-1}+n

Es solo resolver la ecuación comenzando con$L_n$y terminando con$L_0$:

$$L_n = L_{n-1} + n = L_{n-2} + (n-1) + n = ... = L_2 + 3 + ... + (n-1) + n = L_1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n = L_0 + 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n$$

lo ves ahora?

De

$${\rm L}_n-{\rm L}_{n-1}=n,\quad n=1,2,3,\cdots,$$ uno puede simplemente sumar las siguientes igualdades: $$\begin{align} {\rm L}_1-{\rm L}_0 &=1 \\{\rm L}_2-{\rm L}_1 &=2 \\{\rm L}_3-{\rm L}_2 &=3 \\{\cdots}\,{\cdots} \\{\rm L}_n-{\rm L}_{n-1} &=n \end{align}$$ para obtener una suma telescópica , $${\rm L}_n-{\rm L}_{0}=1+2+3+\cdots+n.$$

$$L_n = L_{n-1} + n$$ para que podamos escribir $$L_{n-1} = L_{(n-1)-1} + (n-1) = L_{n-2} + (n-1)$$ podemos poner las dos primeras líneas juntas para formar $$L_n = (L_{n-2} + (n-1)) + n$$ podemos mantener este proceso en marcha $$L_{n-2} = L_{n-3} + (n-2)$$ o $$L_n = L_{n-3} + (n-2) + (n-1) + n = L_{n-3} + \sum_{k=0}^2 (n-k)$$ o $$L_n = L_{n-10} + \sum_{k=0}^9 (n-k)$$ o $$L_n = L_{n-m} + \sum_{k=0}^{m-1}(n-k)$$ echemos $m = n$entonces nosotros tenemos $$L_n = \sum_{k=0}^{n-1}(n-k)$$