Mejores aproximaciones racionales a una razón de tres números x:y:zx:y:zx:y:z

Si tengo una razón de dos números reales positivos$x:y,$entonces puedo encontrar las "mejores" aproximaciones racionales al escribirlo como una fracción continua (por ejemplo, al eliminar repetidamente la parte entera y tomar el recíproco del resto)

y esta es una aproximación "mejor pequeña" en el sentido de que cualquier aproximación racional más cercana$\frac{p'}{q'}$con$\left|\frac{p'}{q'}-\frac xy\right|<\left|\frac pq-\frac xy\right|$tiene$p'\ge p$y$q'\ge q$. (Al menos uno de ellos será estricto para una proporción distinta). Este proceso no produce todas las mejores pequeñas aproximaciones, pero sí una modificación.

Recientemente, quería aproximar una razón de tres números como$13780:8992:3364$, en lugar de solo dos. Me di cuenta de que no sabía cómo, de ahí esta pregunta.

Deberíamos definir qué es una aproximación "mejor pequeña" en este contexto 3D. Para decir qué tan bien$p:q$se aproxima$x:y$, acabamos de calcular$|\frac pq-\frac xy|$. Para generalizar esto a$p:q:r$y$x:y:z$, creo que debemos seguir esta respuesta . Los tratamos como vectores en el espacio 3D y los normalizamos en la esfera unitaria. Entonces podemos encontrar la distancia entre estas proyecciones. (Para el caso 2D, no creo que esta definición dé los mismos números, pero creo que da el mismo orden). Entonces$p:q:r$es la mejor pequeña aproximación a$x:y:z$si alguna aproximación más cercana$p':q':r'$tiene$p'\ge p,q'\ge q,r'\ge r$. (Se agradecen los comentarios sobre la idoneidad de esta definición).

En mi caso único, lo hice algo ad hoc al dividir la parte más pequeña de la proporción para obtener$4+\frac1{10+\ddots}:2+\frac1{2+\frac1{4+\ddots}}:1$, truncando en la primera y segunda posición respectivamente para obtener$4:2+\frac12:1,$y luego multiplicando por el común denominador para$8:5:2.$Al enumerar todas las proporciones más pequeñas, encuentro que esta es la mejor pequeña aproximación, pero mi proceso no parece general. Por ejemplo, si en cambio trunco ​​a$4.1:2.5:1$y luego multiplicar a$41:25:10$, encuentro que en realidad es peor que la aproximación más pequeña (mejor pequeña)$37:24:9$. ¿Existe/cuál es un proceso general para encontrar las mejores pequeñas aproximaciones a una proporción de tres (o más) números? (Aparte de simplemente enumerar todas las proporciones pequeñas y tomar las mejores).