Relación entre el Teorema de Aproximación de Dirichlet y Convergentes

Tres resultados resumen lo buenas que son las fracciones continuas en la aproximación. Aquí, supongamos que$\frac{p_0}{q_0}, \frac{p_1}{q_1}, \frac{p_2}{q_2}, \dots$son las fracciones continuas aproximativas a$r \notin Q$.

1. La declaración que cita: para todos$n \in \mathbb N$,$|r - \frac{p_n}{q_n}| < \frac1{q_n^2}$.
2. Teorema de Legendre: si$|r - \frac pq| < \frac1{2q^2}$, entonces$\frac pq = \frac{p_n}{q_n}$para algunos$n \in \mathbb N$.
3. Teorema de Hurwitz: hay infinitos$n \in \mathbb N$tal que$|r - \frac{p_n}{q_n}| < \frac1{\sqrt5 q_n^2}$. (En particular, existe tal valor de$n$entre tres números naturales consecutivos).

Sin embargo, hay otras aproximaciones que son lo suficientemente buenas para Dirichlet, pero no lo suficientemente buenas para Legendre. Como se señaló en los comentarios de @halbaroth, hay un cuarto resultado que caracteriza tales aproximaciones:

4. Teorema de Fatou: si$|r - \frac pq| < \frac1{q^2}$, entonces$\frac pq \in \{ \frac{p_n}{q_n}, \frac{p_{n+1}+p_n}{q_{n+1}+q_n}, \frac{p_{n+2}-p_{n+1}}{q_{n+2}-q_{n+1}}\}$para algunos$n \in \mathbb N$.

La intuición aquí es que las aproximaciones de fracciones continuas satisfacen la recursión$\frac{p_n}{q_n} = \frac{a_n p_{n-1} + p_{n-2}}{a_n q_{n-1} + q_{n-2}}$. Por lo tanto, a menudo obtenemos algunas aproximaciones adicionales en el camino reemplazando$a_n$Con algo$k \in \{1, 2, \dots, a_n -1\}$. Todas estas son aproximaciones aceptables , pero las únicas que cumplen con los estándares de Fatou son$k=1$y$k = a_n - 1$: los que están más cerca$\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$o$\frac{p_n}{q_n}$.

Por ejemplo, las primeras fracciones continuas aproximadas a$\sqrt{2}$son

En el caso de$\sqrt2$, el error$|\sqrt2 - \frac pq|$resulta ser aproximadamente$\frac1{2\sqrt2 q^2}$para las fracciones en negro y aproximadamente$\frac1{\sqrt2 q^2}$para las fracciones en rojo, por lo que todos estos son lo suficientemente buenos.

Esto no tiene que suceder; En el caso de$\pi$, por ejemplo, entre$\frac{22}{7}$y$\frac{333}{106}$tenemos una secuencia de aproximaciones$\frac{25}{8}, \dots, \frac{311}{99}$. Fatou nos promete que solo el primero y el último tienen posibilidades de ser buenos, pero en realidad,$|\pi - \frac{25}{8}| \approx \frac{1}{0.94 \cdot 8^2}$y$|\pi - \frac{311}{99}| \approx \frac1{0.57 \cdot 99^2}$: ninguno es lo suficientemente bueno. Fatou no promete que ninguna de estas aproximaciones satisfaga la desigualdad$|r - \frac pq| < \frac1{q^2}$- Sólo que nada más lo hará.

Además, las aproximaciones$\frac{p_{n+1}+p_n}{q_{n+1}+q_n}$y$\frac{p_{n+2}-p_{n+1}}{q_{n+2}-q_{n+1}}$puede, en algunos casos, acercarse arbitrariamente a la constante del teorema de Legendre. Para esto, considere$x = 50 + 5\sqrt{102}$: esto tiene expansión de fracción continua$[100;2,100,2,100,2,\dots]$. (Espero que quede claro cómo obtuve este ejemplo). Dos aproximaciones consecutivas de fracciones continuas a$x$son$\frac{40601}{404}$y$\frac{4080300}{40601}$. El primero de ellos es muy bueno:$404^2|x - \frac{40601}{404}| \approx \frac{1}{101}$. El segundo de estos sigue siendo decente:$40601^2|x-\frac{4080300}{40601}| \approx \frac1{2.02}$. Bueno, si los sumamos juntos, el resultado$\frac{4120901}{41005}$es casi tan bueno:$41005^2|x - \frac{4120901}{41005}| \approx \frac1{1.98}$.

La respuesta anterior es genial; Solo quería resumir en algunos términos más sucintos:

1. La respuesta a mi pregunta original es no. Puede haber "falsos positivos" para los cuales$|r - p/q| < 1/q^2$, pero que no son convergentes. Un ejemplo es, si estamos tratando de aproximar$\log_2(3/2)$, eso$10/17$tiene la propiedad requerida pero es solo semiconvergente. Entonces esto es necesario pero no suficiente.

2. También hablé de cómo si$|r - p/q| < 1/(2q^2)$, entonces sabemos que tenemos un convergente. Esto tampoco va al revés, porque ahora puede haber “falsos negativos”. Otro buen ejemplo es$24/41$, que también es convergente de$\log_2(3/2)$pero que no tiene la propiedad requerida. Entonces esto es suficiente pero no necesario, y ahora obtenemos "falsos negativos" si buscamos convergentes.

3. Hay un resultado importante de Fatou que básicamente dice, parafraseando ligeramente, que si tenemos$|r - p/q| < 1/(2q^2)$, que nuevamente es suficiente pero no necesario, los racionales "extra" que satisfacen esta propiedad que no son convergentes son todos semiconvergentes que son directamente adyacentes a algún convergente.

4. Esperaba algo de magia.$k$tal que si el error es menor que$1/(kq^2)$, eso es necesario y suficiente para que sea convergente. Pero, parece que los no convergentes pueden acercarse arbitrariamente a la$1/(2q^2)$atado, y yendo hacia el otro lado, los convergentes pueden acercarse arbitrariamente al$1/(q^2)$atado.