Encuentre el término general de la sucesión

Dejar ( X norte ) norte ≥ 1 , X norte ∈ R ser una secuencia con X 1 ∈ [ 1 2 , ∞ ) y

X norte + 1 = X norte 3 3 X norte 2 − 3 X norte + 1
Encuentra el término general de la sucesión.

Intentos:

Pensé en resolver la ecuación. 3 r 3 − 3 r 2 + r = r 3 , que tiene las raíces r 1 = 0 , r 2 = 1 2 , r 3 = 1

yo tambien me di cuenta de eso

X norte + 1 = X norte 3 ( 1 − X norte ) 3 + X norte 3

¿Cuál es la fórmula para el término general? No puedo encontrar una conexión con X norte + 1 = X norte + α X norte + β o X norte + 1 = α X norte + β X norte − 1 o hay otro metodo?

¡Cualquier ayuda sería apreciada!

Respuestas (2)

Pista: dejar y norte = 1 X norte , invierte ambos lados, luego completa un cubo.

y norte + 1 − 1 = y norte 3 − 3 y norte 2 + 3 y norte − 1

¿Cómo pensaste en esa transformación? ¿Hay una forma sistemática de llegar a ella? ¿O solo probaste algunas cosas?
@StefanLafon La expresión sugiere que trabajar en 1 / X norte puede simplificar la relación y, de hecho, la transforma de una función racional a una función polinomial. No solo eso, sino un polinomio que resulta estar cerca de una forma familiar.
@StefanLafon: las potencias y los coeficientes 3 , − 3 , 1 evocar el desarrollo binomial de ( 1 − X ) 3 . Estos términos en el denominador exigen una inversión.

Creo que la idea de identificar los cubos fue un lugar fantástico. Con respecto a resolver la ecuación que hiciste: Esa no es la ecuación que necesitas resolver, sino una similar. También se debe buscar la buena definición de la RHS de la definición, es decir, probar, por ejemplo, que X norte es positivo para todos norte . Eso queda claro una vez que uno ve que 3 X 2 − 3 X + 1 > 0 para todos X > 0 .

Una vez que haga esto, debe retener hábilmente cualquier cubo creado: esencialmente, elimine los problemáticos 3 X norte 2 − 3 X norte + 1 . Eso no es difícil de hacer. De hecho, si

X norte + 1 = X norte 3 3 X norte 2 − 3 X norte + 1

luego restando 1 de ambos lados

X norte + 1 − 1 = X norte 3 − 3 X norte 2 + 3 X norte − 1 3 X norte 2 − 3 X norte + 1 = ( X norte − 1 ) 3 3 X norte 2 − 3 X norte + 1

Ahora si X norte ≠ 1 y X norte + 1 ≠ 1 , al dividir una ecuación por la otra se conservarán los cubos y se eliminarán los problemáticos 3 X norte 2 − 3 X norte + 1 . Cuando lo hacemos, obtenemos

X norte + 1 X norte + 1 − 1 = ( X norte X norte − 1 ) 3

que, siempre que podamos retener la desigualdad para 1 en cada punto, conduce instantáneamente a la siguiente situación iterativa:

X norte + 1 X norte + 1 − 1 = ( X norte X norte − 1 ) 3 = ( X norte − 1 X norte − 1 − 1 ) 9 = ( X norte − 2 X norte − 2 − 1 ) 27
y así sucesivamente, hasta llegar a:
X norte + 1 X norte + 1 − 1 = ( X 1 X 1 − 1 ) 3 norte

que se puede resolver fácilmente para obtener una fórmula para X norte solo en términos de X 1 y norte . En efecto,

X norte + 1 = ( X 1 X 1 − 1 ) 3 norte ( X 1 X 1 − 1 ) 3 norte − 1

El caso SI requiere resolver una ecuación.

De hecho, SI X norte = 1 , entonces X norte + 1 = 1 por sustitución, por lo que la sucesión es una constante 1 después.

Por otro lado, si X norte + 1 = 1 , entonces X norte debe satisfacer r 3 = 3 r 2 − 3 r + 1 de modo que r = 1 es forzado desde aquí. Entonces X norte = 1 también. En otras palabras, si un 1 aparece alguna vez en la secuencia, entonces la única posibilidad es que la secuencia sea la secuencia constante 1 .

Por lo tanto, podemos completar nuestro razonamiento desde aquí.

+1 por construir sobre el enfoque de OP, que no era obvio (para mí) que pudiera resolverse.
@dxiv Gracias, tuve el presentimiento de que habían hecho el trabajo muy importante de encontrar el cubo. Podría averiguar el resto, afortunadamente.
Gracias, no hubiera pensado en dividir X norte + 1 con X norte + 1 − 1 .
@Sd100 de nada!
Encuentre el término general de la sucesión
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v