Constantes de integración en la teoría de Hamilton-Jacobi

Bueno, la lógica es la siguiente:

1. La ecuación HJ es una PDE no lineal de primer orden en$n+1$Variables$(q^1,\ldots q^n,t)$, que en principio puede resolverse utilizando, por ejemplo, el método de las características . Una completa$^1$solución$S(q,\alpha,t)$tiene$n$no trivial$^2$ constantes de integración $\alpha=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\in\mathbb{R}^n$.

2. La función principal de Hamilton$S(q,\alpha,t)$es una función generadora de tipo 2 para un CT $(q,p,t)\to (Q,P,t)$, lo que (entre otras cosas) implica que

   $$p_i ~=~\frac{\partial S}{\partial q^i} ~=~\text{function of } (q,\alpha,t).\tag{1}$$

3. Una completa$^1$solución tiene por definición

   $$\det\frac{\partial^2 S}{\partial q^i\alpha_j}~\neq~ 0, \tag{2}$$ de modo que la relación (1) puede en principio resolverse para$\alpha$, que entonces se convierte en una función de$(q,p,t)$.

4. Las constantes de integración$\alpha$se identifican a continuación con los nuevos momentos$P$.

5. El Kamiltoniano$K\equiv 0$se desvanece de manera idéntica, de modo que las nuevas variables del espacio de fase$(Q,P)$son constantes de movimiento , cf. Las ecuaciones de Kamilton. La definición de una constante de movimiento en un contexto hamiltoniano se da en mi respuesta Phys.SE aquí .

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica; Sección 10.1 primera nota al pie.

2. LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica, vol. 1 (1976);$\S$47 nota a pie de página en la pág. 148.

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$^1$Una solución completa para una PDE de primer orden no es una solución general [1,2], ¡a pesar del nombre!

$^2$También hay una constante trivial de integración$\alpha_0$asociado con un cambio$S\to S+\alpha_0$, que suprimimos.