Encontrar variables de ángulo de acción

En coordenadas locales la transformación canónica a coordenadas de ángulo de acción$(q,p)\rightarrow (Q,P)$puede estar relacionado por,

$$\begin{equation} \boxed{P_i=\frac{1}{2\pi}\oint p_idq^i \ \ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ \ Q^i=\frac{\partial }{\partial P_i}\int p_idq^i} \end{equation}$$ Por ejemplo:

Considere el oscilador armónico unidimensional con el siguiente hamiltoniano$H=\frac 1{2m}\big[p^2+m^2\omega ^2q^2\big]$. Reorganizar esto para$p$y tomar la hipersuperficie$H=E$.

$$\begin{equation} p=\pm \sqrt{2mE-m^2\omega ^2q^2} \end{equation}$$ Luego use la ecuación anterior para calcular $P$. $$\begin{equation} P=\frac{1}{2\pi }\oint \sqrt{2mE-m^2\omega ^2q^2}dq \end{equation}$$ La integral ya ha terminado. $0$a $2\pi$que es más fácil de manejar. Esto funciona como, $$\begin{equation} \frac {1}{2\pi}\oint ^{2\pi}_{0}\cos^2Q\ dQ\cdot \frac {2E}{\omega} =\frac{E}{\omega} \end{equation}$$ Por lo tanto, hemos utilizado la fórmula citada para calcular la variable de acción del oscilador armónico.