Sea G un grupo de orden nnn, donde nnn es un entero positivo relativo primo a φ(n)φ(n)\varphi(n). Demuestre que G es cíclico.

Question

Sea G un grupo de orden nnn, donde nnn es un entero positivo relativo primo a φ(n)φ(n)\varphi(n). Demuestre que G es cíclico.

Matemáticas
teoría de grupos
grupos cíclicos
grupos abelianos
álgebra abstracta

Zak

Sea G un grupo de orden $n$ , dónde $n$ es un entero positivo relativo primo a $\varphi(n)$ . Demuestre que G es cíclico.
Aquí solo puede asumir el teorema de Feit-Thompson y demostrarlo de la siguiente manera:
(1) $n$ es un producto de números primos impares y sin cuadrados.
(2) Entonces $G$ es solucionable Demuestre que tiene un cociente cíclico de primer orden, es decir, hay un epimorfismo $G\to H$ con $H$ cíclico de primer orden. Dejar $N$ ser el núcleo. (Pista: usando series de composición)
(3) Demuestre que $G\cong N \times H$ y luego probar $G$ es abeliano.
(4) Demuestra que $G$ es cíclico.

Probé (1) pero me quedé atascado en el paso 2. ¿Hay alguna ayuda? Gracias.

yoyó

feit-thompson ha terminado, por ejemplo jstor.org/stable/2324062

Respuestas (1)

Sea G un grupo de orden nnn, donde nnn es un entero positivo relativo primo a φ(n)φ(n)\varphi(n). Demuestre que G es cíclico.

feit-thompson ha terminado, por ejemplo jstor.org/stable/2324062

D_S · Answer 1

Si $G$ es soluble, entonces tiene una serie soluble, como

GRAMO = {GRAMO}_{0} \supseteq {GRAMO}_{1} \supseteq \dots \supseteq {GRAMO}_{norte} = {mi}

$G = G_0 \supseteq G_1 \supseteq \cdots \supseteq G_n = \{e\}$ que se puede refinar a una serie de composición solucionable. Así que podemos suponer

G_{0}, G_{1}, . . ., G_{n}

$G_0, G_1, ... , G_n$ es una serie de composición soluble, es decir

G_{i} ◃ G_{i + 1}

$G_i \triangleleft G_{i+1}$ y

G_{i + 1} / G_{i}

$G_{i+1}/G_i$ es simple y abeliano, es decir, cíclico de primer orden. De este modo

G / G_{1}

$G/G_1$ es cíclico de primer orden, y el mapa canónico

GRAMO \to GRAMO / {GRAMO}_{1}

$G \rightarrow G/G_1$ tiene núcleo

G_{1}

$G_1$ . Eso es (2), y no estoy seguro de cómo hacer la parte (3).

Sea G un grupo de orden nnn, donde nnn es un entero positivo relativo primo a φ(n)φ(n)\varphi(n). Demuestre que G es cíclico.

Zak

yoyó

Respuestas (1)

D_S

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