¿El orden de un cociente del grupo multiplicativo de números enteros es una potencia prima si el grupo es cíclico?

Estoy viendo el grupo multiplicativo de enteros modulo$n$, denotado$\mathbb{Z}_n^*$, y sus subgrupos/grupos de cocientes. por un numero$p \in \mathbb{Z}$denotamos$\bar{p} \in \mathbb{Z}_n^*$. se nos da eso$\mathbb{Z}_n^*/H$es cíclico, donde$H=\langle \bar{p} \rangle$por un número primo$p$que no divide$n$. Decir$|\mathbb{Z}_n^*|=l\cdot d$dónde$|H|=d$. ¿Qué podemos decir sobre el número?$l$?

yo se si$n = p_1^{k_1}\dots p_r^{k_r}$entonces$\mathbb{Z}_n^* \simeq \mathbb{Z}_{p_1^{k_1}}^*\times \dots \times \mathbb{Z}_{p_1^{k_r}}^*$. Para primos impares, cada uno de estos factores es cíclico (así como para$p_i=2, k_i = 0,1,2$). Lo sabemos$l$no es necesariamente primo, ya que podríamos obtener$n=p_1p_2^k, k>1$y eso$|H|=p_1$, pero puede$l$ser algo más que un poder principal? Tal vez sea más fácil demostrar que$d$y$l$son coprimos?