Singularidad del grupo dado solo la presentación del grupo

Estoy tratando de entender cómo una presentación dada de un grupo está bien definida. Dice en Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Presentation_of_a_group ) que GRAMO   =   ⟨ a   |   a norte = 1 ⟩ es una presentación para el grupo cíclico de orden norte . Pero para mí, esa presentación no está bien definida. No se nos da ese orden de a es norte , solo eso a norte = 1 . Si norte = 8 digamos entonces el grupo trivial, el grupo cíclico de orden 2 y el grupo cíclico de orden 4 cumplen también las condiciones de la presentación. Cómo es que GRAMO está realmente definido de forma única?

Además, no sé nada sobre grupos libres, grupos cocientes, subgrupos normales o cualquiera de esas cosas que usa Wikipedia para definir presentaciones grupales. Estoy estudiando por mi cuenta Dummit and Foote y ellos introducen presentaciones grupales desde el principio sin ninguno de esos conceptos.

Dado que los grupos libres en particular son un caso especial importante de un grupo con una presentación determinada (solo el caso en el que el número de relaciones es 0), personalmente no estoy seguro de qué respuesta podríamos dar antes de que al menos entiendas los grupos libres.
Vale la pena señalar que si bien (como dice la respuesta), esto realmente define a un grupo de manera única, tiene razón al preocuparse por si el orden de X realmente será 8 , en lugar de algún divisor de 8 . La razón por la que termina siendo el caso aquí es que existe un grupo generado por un elemento de orden. 8 , pero ciertamente es posible escribir una presentación similar a esta con relaciones de la forma a norte = 1 y b metro = 1 (más algunos otros), y donde resulta que el grupo presentado es trivial, aunque ninguno norte ni metro era 1 .
Para un ejemplo fácil de lo anterior, considere el grupo ⟨ a , b ∣ a 2 = 1 , b 3 = 1 , a b = 1 ⟩ .

Respuestas (1)

En términos generales, la idea principal es que el grupo definido por una presentación es el grupo "más grande" o "más libre" que satisface la presentación.

En particular, un grupo que satisface la presentación no significa que sea el grupo presentado. (Solo significa que es un cociente del grupo presentado).

Por ejemplo, en su caso, GRAMO debe ser el grupo "más grande" en un generador llamado a tal que a norte = 1 , no cualquier grupo donde a norte = 1 está satisfecho, y resulta que GRAMO es el grupo cíclico de orden norte .

Para que esto sea más formal (incluido el hecho de que esto realmente define un grupo único), necesita aprender un poco sobre los grupos libres, etc.

Ver también: ¿ Se define un grupo por su conjunto generador y sus relaciones?

(De hecho, se podría argumentar que esto es un duplicado).

Gracias, eso realmente lo aclara.
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