¿Cómo se construyen los lagrangianos en QFT?

Análisis de simetría, estabilidad y dimensión. Puede considerar una teoría de campo escalar, por ejemplo. Una acción dinámica para tal teoría debe ser

$S = \int d^4 x \, \, \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$

porque

i. La simetría de Lorentz indica que todos los índices deben estar adecuadamente contraídos

ii. Las ecuaciones de campo no deben exceder el segundo orden en derivada

iii. Puede agregar un término potencial$V(\phi) = m^{4-n} \phi^n$solo por análisis de dimensiones. Tenga en cuenta que este término también cumple las dos primeras condiciones.

También puede considerar un campo vectorial sin masa$A_\mu$. En este caso, debe satisfacer dos simetrías

a. Lorentz (significa que todos los índices deben contraerse)

b.$U(1)$(Significa que la acción debe ser invariante bajo la variación$\delta A_\mu = \partial_\mu \Lambda$. Por lo tanto, debe usar un objeto invariante, que es$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$.

Por lo tanto, la acción cinética que satisface ese principio de simetría así como la estabilidad (ecuación de campo de segundo orden) es

$S = \int d^4 x \, \, F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$

Puede agregar un término potencial a este Lagrangiano, es decir$m^{4-n} (A_\mu A^\mu)^n$, como en el caso escalar. En este caso, ya no puede satisfacer la$U(1)$simetría, así que tienes que renunciar a eso. Tenga en cuenta que elegir$n=2$llevaría a Proca.