La ecuación de Euler-Lagrange en relatividad especial

Question

La ecuación de Euler-Lagrange en relatividad especial

andy bala

¿Cómo puedo derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange válidas en el campo de la relatividad especial? Específicamente, considere un campo escalar.

Marek

Respuesta corta: tome la acción para su Lagrangiano (relativista especial) y use el principio variacional ... Podría considerar escribir una respuesta detallada para esto, pero primero háganos saber con qué tipo de sistema está tratando. Como mínimo, si tiene un número finito o infinito de grados de libertad (es decir, partículas frente a campos).

andy bala

Quiero considerar un campo escalar

Φ (x)

$\Phi(x)$

usuario442

Sugerencia: las partículas viajan a lo largo de trayectorias de tiempo propio máximo.

Marek

@ Matt: no hay un tiempo adecuado si la partícula no tiene masa (por ejemplo, fotón). Es mejor considerar el parámetro general del camino y dejar que la teoría posea libertad de reparametrización de calibre. Da más información sobre el problema y hace que la cuantificación sea más fácil (si alguna vez quisiera hacerlo).

Marek

Edité un poco tu pregunta (espero que esté de acuerdo con lo que quieres). Si sus intenciones con esta pregunta eran diferentes, proporcione más detalles.

Respuestas (1)

La ecuación de Euler-Lagrange en relatividad especial

Respuesta corta: tome la acción para su Lagrangiano (relativista especial) y use el principio variacional ... Podría considerar escribir una respuesta detallada para esto, pero primero háganos saber con qué tipo de sistema está tratando. Como mínimo, si tiene un número finito o infinito de grados de libertad (es decir, partículas frente a campos).
Sugerencia: las partículas viajan a lo largo de trayectorias de tiempo propio máximo.
@ Matt: no hay un tiempo adecuado si la partícula no tiene masa (por ejemplo, fotón). Es mejor considerar el parámetro general del camino y dejar que la teoría posea libertad de reparametrización de calibre. Da más información sobre el problema y hace que la cuantificación sea más fácil (si alguna vez quisiera hacerlo).
Edité un poco tu pregunta (espero que esté de acuerdo con lo que quieres). Si sus intenciones con esta pregunta eran diferentes, proporcione más detalles.

Marek · Answer 1

Enfoque general

Primero recuerde que las ecuaciones de Euler-Lagrange son condiciones para la desaparición de la variación de la acción. $S$ . Para un campo escalar $\Phi$ con densidad lagrangiana $\mathcal L$ en algún subconjunto abierto U tenemos

S [Φ] = \int_{tu} L (Φ (X), \partial^{m} Φ (X)) d^{4} X

$S[\Phi] = \int_U {\mathcal L}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) {\rm d}^4 x$

Considere una variación del campo en la dirección $\chi$ y calcular

S [Φ + ε x] = \int_{METRO} L (Φ (X) + ε x (X), \partial^{m} (Φ (X) + ε x (X))) d^{4} X

$S[\Phi + \varepsilon \chi] = \int_M {\mathcal L}(\Phi(x) + \varepsilon \chi(x), \partial^{\mu}(\Phi(x) + \varepsilon \chi(x))) {\rm d}^4 x$ Luego usando la expansión de Taylor

S [Φ + ε x] - S [Φ] = \int_{tu} [ε x (X) \frac{\partial L}{\partial Φ} (Φ (X), \partial^{m} Φ (X)) + ε (\partial^{m} x (X)) \frac{\partial L}{\partial (\partial^{m} Φ)} (Φ (X), \partial^{m} Φ (X)) + O (ε^{2})] d^{4} X

$S[\Phi + \varepsilon \chi] - S[\Phi] = \int_U \left[ \varepsilon \chi(x) {\partial{\mathcal L} \over \partial \Phi}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) + \varepsilon (\partial^{\mu} \chi(x)) {\partial{\mathcal L} \over \partial (\partial^{\mu} \Phi)}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) + O(\varepsilon^2) \right] {\rm d}^4 x$

Usando la integración por partes en el segundo término (suponiendo $\chi$ se desvanece $\partial U$ ), buceando por $\varepsilon$ por ambos lados y dejando $\varepsilon \to 0$ esto se convierte en una variación en la dirección $\chi$

d S [Φ] [x] = \int_{tu} x (X) [\frac{\partial L}{\partial Φ} (Φ (X), \partial^{m} Φ (X)) - \partial^{m} (\frac{\partial L}{\partial (\partial^{m} Φ)} (Φ (X), \partial^{m} Φ (X)))] d^{4} X

$\delta S [\Phi][\chi] = \int_U \chi(x) \left[ {\partial{\mathcal L} \over \partial \Phi}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) - \partial^{\mu}\left( {\partial{\mathcal L} \over \partial (\partial^{\mu} \Phi)}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x))\right) \right] {\rm d}^4 x$

Al requerir variaciones en todas las direcciones iguales a cero, obtenemos

\frac{\partial L}{\partial Φ} - \partial^{m} (\frac{\partial L}{\partial (\partial^{m} Φ)}) = 0

${\partial{\mathcal L} \over \partial \Phi} - \partial^{\mu}\left( {\partial{\mathcal L} \over \partial (\partial^{\mu} \Phi)}\right) = 0$

(argumentos los mismos de siempre, por lo que se omiten).

Ejemplo de campo escalar masivo

Considere la densidad lagrangiana

L = \frac{1}{2} η_{m v} \partial^{m} Φ \partial^{v} Φ - \frac{1}{2} {metro}^{2} Φ^{2}

${\mathcal L} = {1 \over 2}\eta_{\mu \nu} \partial^{\mu} \Phi \partial^{\nu} \Phi - {1 \over 2} m^2 \Phi^2$ Usando las ecuaciones EL que acabamos de derivar, obtenemos la ecuación de Klein-Gordon.

η_{m v} \partial^{m} \partial^{v} Φ + {metro}^{2} Φ = ◻ Φ + {metro}^{2} Φ = 0

$\eta_{\mu \nu} \partial^{\mu} \partial^{\nu} \Phi + m^2 \Phi = \square \Phi + m^2 \Phi = 0$

¿Densidad lagrangiana? Interesante; en todo mi estudio de la mecánica lagrangiana nunca me he encontrado con ese término. Tendemos a decir simplemente "Lagrangiano" u "Operador Lagrangiano". No estoy seguro si son los mismos.
@Noldorin: La dualidad es la misma que entre energía y densidad de energía. El primero se ocupa de todo el sistema y el segundo de la distribución local. Hablar de densidad solo tiene sentido cuando se trata de campos. Entonces, ¿supongo que solo estabas tratando con partículas en tu estudio? Aunque tenga en cuenta que los físicos a menudo abusan de la terminología y llaman (e incluso escriben) densidad lagrangiana simplemente lagrangiana.
@Noldorin: tal vez una cosa que vale la pena señalar es que la acción de las partículas es integral con el tiempo. Pero para los campos es integral sobre todo el espacio-tiempo. Puede reescribir eso como una integral del Lagrangiano en el tiempo y el Lagrangiano en sí mismo se volvería integral sobre la densidad del Lagrangiano en el espacio.
@Marek: Probablemente. La principal aplicación del Lagrangiano en la mecánica clásica son las partículas, así que sí.
@Noldorin: creo que nunca he oído hablar de la densidad lagrangiana fuera de la teoría de campos, por lo que si no ha estudiado QFT, no es de extrañar que no haya oído hablar de ella.
@David: Sí, eso tendría sentido. Probablemente no estudiaré QFT hasta el próximo año.
@Marek: creo que hay un error en su última ecuación, ¿no debería ser el término? $m^2 \Phi$ ?

La ecuación de Euler-Lagrange en relatividad especial

andy bala

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Marek

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Enfoque general

Ejemplo de campo escalar masivo

Noldorin

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david z

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usuario7757

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