¿Se puede acotar el espacio hiperbólico?

Question

¿Se puede acotar el espacio hiperbólico?

mimok

Hay muchas visualizaciones de geometría hiperbólica utilizando discos de Poincaré.

¿Cuáles son sus propósitos?
¿ Se puede acotar el espacio hiperbólico ?
¿Podemos dotar al disco de la estructura descrita por la métrica FLRW?
¿Tiene curvatura constante?
¿Podría nuestro universo estar limitado, pero aún así ser infinito?

jamals

No creo que sea '¿el disco de Poincaré satisface la métrica FLRW?' Más bien, diría, ¿podemos dotar al disco con la estructura descrita por la métrica FLRW?

jamals

Ah, y sí, los discos de Poincaré tienen una curvatura constante; en general es

d (d - 1)

$d(d-1)$ .

Respuestas (2)

¿Se puede acotar el espacio hiperbólico?

No creo que sea '¿el disco de Poincaré satisface la métrica FLRW?' Más bien, diría, ¿podemos dotar al disco con la estructura descrita por la métrica FLRW?
Ah, y sí, los discos de Poincaré tienen una curvatura constante; en general es $d(d-1)$ .

Selene Routley · Answer 1

¿Cuáles son sus propósitos?

Los "propósitos" de las geometrías hiperbólicas son muchos y variados en matemáticas, pero uno se destaca mucho más que todos los demás, al menos históricamente como el propósito. Se construyeron geometrías hiperbólicas para demostrar que el postulado paralelo de Euclides (ver la página Wiki "Postulado paralelo") era lógicamente independiente de los otros axiomas de geometría de Euclides. Antes de János Bolyai y Nikolai Lobachevskydescubierto ejemplos concretos de geometrías que cumplían con todos los demás postulados de Euclides, pero no con el postulado de las paralelas en la década de 1820, hubo muchas supuestas (pero luego se demostró que eran defectuosas) "pruebas" notables del postulado de las paralelas de los otros postulados de Euclides (estas se discuten en la página Wiki). Pero la demostración concreta de una geometría que cumple los otros axiomas pero en la que el postulado de las paralelas no se cumple de manera decisiva mostró que no podía derivarse únicamente de los demás: de lo contrario estaría en contradicción lógica con los modelos concretos expuestos (ver "Teoría de modelos " Página Wiki) que descubrieron Bolyai y Lobachevsky.

Otro propósito moderno, probablemente el principal (fuera del estudio de la geometría hiperbólica en sí misma) es una aproximación local a la geometría de una variedad general en un vecindario donde la curvatura se puede tomar como aproximadamente constante y negativa. Es "un paso adelante" desde la aproximación local euclidiana / minkowskiana (plana firmada) a una variedad dada por el espacio tangente. Si lo desea, la geometría hiperbólica (y de aquí en adelante me refiero a la geometría hiperbólica de curvatura constante con estas palabras) es como tomar la aproximación de Taylor a una superficie de segundo orden (en una región de curvatura negativa) donde el espacio tangente es la aproximación de Taylor de primer orden. En dos dimensiones, por ejemplo, la geometría hiperbólica es una buena aproximación a la geometría de una superficie en la vecindad de un punto de silla.

¿Se puede acotar el espacio hiperbólico?

El espacio hiperbólico de curvatura verdaderamente constante no puede ser compacto en la topología que lo hace hiperbólico: tome el modelo del disco de Poincaré y sea testigo de que para cualquier distancia $d_0$ , por grande que sea, siempre hay puntos $u,\,v$ para los cuales la distancia mínima global entre ellos es mayor. Llevar $u$ ser el centro del disco de Poincaré y $v$ ser el punto dado por $y=z=0$ y $x = \sqrt{\frac{\cosh(d_0+\epsilon)-1}{\cosh(d_0+\epsilon)+1}}$ , dónde $\epsilon>0$ Por ejemplo. Sin embargo, las variedades que son localmente hiperbólicas ciertamente pueden ser compactas: intuitivamente esto es obvio si inflas un globo y metes dos dedos en su superficie para darle dos hoyuelos cóncavos. La región de la silla de montar entre los hoyuelos es localmente hiperbólica, pero la variedad global es difeomorfa a la esfera compacta de 2.

Sin embargo, parece estar pensando en algo ligeramente diferente de mi párrafo anterior, es decir , que el disco de Poincaré es homeomorfo a un subespacio acotado pero abierto, es decir, no compacto del espacio euclidiano: retengamos este pensamiento hasta que responda a su última pregunta.

¿Podemos dotar al disco de la estructura descrita por la métrica FLRW?

Sí tu puedes. El disco de Poincaré modela un espacio hiperbólico de curvatura negativa constante, por lo que se puede pensar en la métrica FLRW como una especie de dilatación del disco de Poincaré en función del factor de escala FLRW. $a(t)$ . Vea mis cálculos al final de mi respuesta para ver esto más claramente.

¿Podría nuestro universo estar limitado, pero aún así ser infinito?

Como en la respuesta de Doetoe, una transformación no lineal mapea una curvatura negativa constante de FLRW en un conjunto "finito": finito en el espacio euclidiano ambiental. Pero la distancia minkowskiana es lo que mediría un ser que pertenece y vive en este universo. Es la única función de distancia "física" en este universo, y dicho universo siempre contiene puntos arbitrariamente distantes entre sí. Entonces, si piensa en una estructura así como limitada, entonces la respuesta es "sí", pero esta es una construcción totalmente artificial y no tiene nada que ver con la física. Siempre puede encontrar una transformación no lineal para mapear regiones infinitas en regiones abiertas y limitadas. Es como mapear todo el tiempo: la línea real ilimitada $\mathbb{R}$ a un intervalo finito por la transformación $\tau:\mathbb{R}\to(-1,\,1);\,\tau(x) = \tanh(x)$ .

Puede resultarle útil comprender que el disco de Poincaré es la proyección estereográfica biyectiva ("conservadora de información" o "invertible") e isométrica ("conservadora de longitud y ángulo") (consulte la sección "Relación con el modelo hiperboloide" en la Página Wiki del disco de Poincaré) ) del hiperboloide, un objeto geométrico ilimitado.

Relación con la métrica FLRW

Para ver cómo encaja el disco de Poincaré en la métrica FLRW con las coordenadas polares de circunferencia reducida para la métrica FLRW , comenzamos con:

\begin{matrix} (1) & d Σ^{2} = \frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}} + r^{2} d Ω^{2}, dónde d Ω^{2} = d θ^{2} + {pecado}^{2} θ d ϕ^{2} \end{matrix}

$\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 = \frac{\mathrm{d}r^2}{1-k r^2} + r^2 \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2, \quad \text{where } \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2 = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2\tag{1}$

como en la página Wiki. Exactamente como para la métrica de Schwarzschild , aquí $r = const$ parametriza la hiperesfera centrada en el origen tal que la longitud de una geodésica alrededor de la hiperesfera es $2\,\pi\,r$ . $r$ no corresponde a la longitud de una geodésica que une un punto de la hiperesfera y el origen , salvo cuando la curvatura $k$ es cero

En términos de las coordenadas euclidianas ambientales $(x,\,y,\,z)$ para puntos en el disco de Poincaré, tenemos:

\begin{matrix} (2) & d Σ_{PAG}^{2} = 4 \frac{d X^{2} + d y^{2} + d z^{2}}{(1 - R^{2})^{2}} \end{matrix}

$\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}_P^2 = 4\,\frac{\mathrm{d}\,x^2+\mathrm{d}\,y^2+\mathrm{d}\,z^2}{(1-R^2)^2}\tag{2}$

dónde $R=x^2+y^2+z^2$ ; preste mucha atención a la diferencia entre poco $r$ y grande $R$ . $R$ es la coordenada radial polar en el espacio euclidiano ambiental y $\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}_P^2$ es el elemento de línea en el disco de Poincaré. Por lo tanto, la longitud de un gran círculo en el disco de Poincaré es:

\begin{matrix} (3) & C (R) = \int_{0}^{2 π} 2 \frac{R}{1 - R^{2}} d θ = 4 π \frac{R}{1 - R^{2}} = 2 π r \end{matrix}

$C(R)=\int_0^{2\,\pi}\, 2\,\frac{R}{1-R^2}\,\mathrm{d}\,\theta = 4\,\pi\,\frac{R}{1-R^2} = 2\,\pi\,r\tag{3}$

el último paso sigue a partir de la definición del radio de la circunferencia reducida, y así:

\begin{matrix} (4) & r = \frac{2 R}{1 - R^{2}} \end{matrix}

$r = \frac{2\,R}{1-R^2}\tag{4}$

y entonces:

\begin{matrix} (5) & d r^{2} = \frac{4 (1 + R^{2})^{2}}{(1 - R^{2})^{4}} d R^{2} \end{matrix}

$\mathrm{d}r^2 = \frac{4\,(1+R^2)^2}{(1-R^2)^4}\,\mathrm{d}R^2\tag{5}$

Al sustituir (4) y (5) en (1), pero ahora ( i ) dejando $\phi$ representar la coordenada azimutal en el plano en el que se encuentra el vector tangente a lo largo del cual medimos el elemento de línea (es decir, sin pérdida de generalidad, pensamos que nuestro vector tangente se encuentra en el plano ecuatorial apropiado) y ( ii ) establecer la curvatura constante en ser $k=-1$ encontramos:

\begin{matrix} (6) & \begin{array}{lcl} d Σ^{2} & = & \frac{\frac{4 (1 + R^{2})^{2}}{(1 - R^{2})^{4}}}{1 - k {(\frac{2 R}{1 - R^{2}})}^{2}} d R^{2} + \frac{4 R^{2}}{(1 - R^{2})^{2}} d Ω^{2} \\ = & \frac{4}{(1 - R^{2})^{2}} (d R^{2} + R^{2} d ϕ^{2}) \\ = & 4 \frac{d X^{2} + d y^{2} + d z^{2}}{(1 - R^{2})^{2}} \\ = & d Σ_{PAG}^{2} \end{array} \end{matrix}

$\begin{array}{lcl}\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}^2 &=& \frac{\frac{4\,(1+R^2)^2}{(1-R^2)^4}}{1-k\,\left(\frac{2\,R}{1-R^2}\right)^2}\,\mathrm{d}R^2 + \frac{4\,R^2}{(1-R^2)^2}\,\mathrm{d}\Omega^2\\&=&\frac{4}{(1-R^2)^2}\left(\mathrm{d}R^2+R^2\,\mathrm{d}\,\phi^2\right)\\&=&4\frac{\mathrm{d}\,x^2+\mathrm{d}\,y^2+\mathrm{d}\,z^2}{(1-R^2)^2}\\&=&\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}_P^2\end{array}\tag{6}$

es decir, es igual al elemento de línea medido en el disco de Poincaré.

doetoe · Answer 2

El propósito de cualquier modelo del plano hiperbólico es que algún aspecto del mismo sea fácil de trabajar computacional o intuitivamente, por ejemplo, escribiendo ciertas isometrías, identificando geodésicas, calculando volúmenes, etc.
El espacio hiperbólico no está acotado, una variedad hiperbólica puede estar acotada.
No sé
Sí
Si no está utilizando los términos acotado e infinito para que sean mutuamente excluyentes por definición, está utilizando una terminología no estándar. Tal vez tenga la impresión de que el plano hiperbólico en el modelo de disco de Poincaré está acotado, pero ese no es el caso. Lo sería si estuviéramos usando la métrica euclidiana, pero ya no sería el plano hiperbólico.

Bueno, no estoy usando la terminología. Obviamente, el disco de Poincaré está definido en |x|<1, por lo que está acotado. Por la definición estándar, es finito. Sin embargo, si converge hacia el límite, debe dar pasos infinitos, por lo que, según mi definición intuitiva, es infinito. Me parece que la definición de que algo está acotado del conjunto acotado se autodefine y autodemuestra. Por supuesto, entonces existe el problema de que siempre podemos crear un "espacio exterior" "fuera del mundo", a partir del cual nuestro espacio puede ser lo que queramos. ¿O podemos?
(Por cierto, normalmente infinito significa que tiene una cantidad infinita de puntos, por lo que, en ese sentido, obviamente no son mutuamente excluyentes). El disco de Poincaré es un modelo del plano hiperbólico en un conjunto que está acotado en la métrica euclidiana. , pero está dotado de una métrica diferente. Con esta métrica, es ilimitado, y es solo esta métrica la que tiene un significado para el disco de Poincaré. En el ejemplo de Rob el intervalo $(-1,1)$ se hace isométrica a $\Bbb R$ a través de $\tanh$ función, pero eso no hace $\Bbb R$ encerrado.

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