¿Por qué un universo plano implica un universo infinito?

Necesitamos ser precisos acerca de la frase el tamaño del universo . Específicamente voy a tomarlo como la máxima separación posible entre dos puntos cualesquiera. En un universo infinito, dos puntos pueden estar separados por una distancia arbitrariamente grande, por lo que si la distancia máxima entre dos puntos es finita, esto significa que el universo no debe ser infinito.

El punto de todo esto es que la distancia entre dos puntos cualesquiera se calcula usando la métrica. Para un universo de Friedmann como el nuestro (al menos creemos que nuestro universo es un universo de Friedmann) la métrica es (en coordenadas polares):

El valor del parámetro$k$determina si el universo es cerrado, plano o abierto. Específicamente$k > 0$es un universo cerrado,$k = 0$es un universo plano y$k < 0$es un universo abierto. La variable$s$es la distancia adecuada.

Ahora, supongamos que elegimos un origen en algún punto de partida, elegimos un tiempo fijo y calculamos la distancia adecuada,$s$a medida que nos alejamos radialmente del punto de partida. La pregunta es si$s$puede alcanzar el infinito o no. porque solo$r$está cambiando$dt = d\Omega = 0$, por lo que la expresión para la distancia adecuada se simplifica a:

Elegiremos nuestras unidades de distancia para hacer$a = 1$, y consideraremos solo espacios cerrados o planos,$k \ge 0$, en cuyo caso podemos integrar la ecuación anterior para dar:

Entonces el valor máximo posible para$s(r)$es cuando$\sqrt{k}r = 1$, en ese caso:

Y ahí está el resultado que queremos. Por un universo cerrado$k > 0$y por lo tanto la máxima distancia posible entre dos puntos es finita. sin embargo, como$k \rightarrow 0$la máxima distancia posible$s_{max} \rightarrow\infty$. Por eso un universo plano es infinito.

Sin embargo, debemos tener en cuenta que, como señala Rexcirus en su respuesta, incluso un universo plano puede ser finito si tiene una topología no trivial.

Esta afirmación es simplemente incorrecta. El hiperplano plano es, por supuesto, infinito, pero las topologías no triviales pueden ser planas y aun finitas. El ejemplo más simple es el de 3 toros , pero existen incluso la botella de Klein y la variedad de Hantzsche-Wendt.

Véase, por ejemplo, la página 27 de Janna Levin - Topología y el fondo cósmico de microondas , que le muestra diez 3-variedades planas cerradas diferentes.

Para lecturas adicionales, sugiero: William Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology, Princeton University press (1997) .

Creo que es importante tener en cuenta que (casi) todos los que hacen cosmología trabajan en el marco del universo FLRW .

Esto implica que asumimos que el universo es espacialmente homogéneo e isotrópico, es decir, 'todos los lugares son iguales (al menos a gran escala)'. Ahora, piense en un universo plano y finito: ¿es posible sostener que todos los lugares son iguales?

Otras respuestas han dejado en claro que el 'plano' solo implica infinitos supuestos adicionales dados en torno a la topología.

En resumen: un universo que es el mismo en todas partes pero no simplemente conectado puede ser finito .

Vale la pena mencionar que mientras el modelo de trabajo principal asume que el universo está simplemente conectado, la topología real es una pregunta abierta y seria.

En consecuencia, hay estudios en curso sobre, en primer lugar, las posibilidades topológicas y, en segundo lugar, buscándolas.

Por ejemplo, el siguiente espacio más simple sería un 3 toroide. Con esa forma y un universo lo suficientemente pequeño, es posible que puedas ver las mismas galaxias mirando en direcciones opuestas en el cielo.

[Hasta donde yo sé] No hay pruebas contundentes de tal reflejo de galaxias.

Como punto de partida, consulte Wikipedia Donut Universe , pero también hay una gran cantidad de documentos técnicos sobre el tema.

¿Por qué un universo plano implica un universo infinito?

Este artículo afirma que debido a que el universo parece ser plano, debe ser infinito. He escuchado esta idea mencionada en algunos otros lugares, pero nunca explican el razonamiento en absoluto.

La sección en cuestión parece ser:

"El modelo de Vardanyan dice que la curvatura del Universo está estrechamente restringida alrededor de 0. En otras palabras, el modelo más probable es que el Universo sea plano. Un Universo plano también sería infinito y sus cálculos también son consistentes con esto. Estos muestran que el Universo es al menos 250 veces más grande que el volumen del Hubble. (El volumen del Hubble es similar al tamaño del universo observable.)".

The Daily Galaxy a través de MIT Technology Review "

La revisión de tecnología hace la cita antes mencionada y también dice esto:

"Otras estimaciones dependen de un número de factores y en particular de la curvatura del Universo: si es cerrado, como una esfera, plano o abierto. En los dos últimos casos, el Universo debe ser infinito".

Otros y yo no estamos de acuerdo.

En Wikipedia se proporciona una explicación bastante simple, todo en una página.

Infinito o finito

Una de las preguntas actualmente sin respuesta sobre el universo es si es infinito o finito en extensión. Por intuición, se puede entender que un universo finito tiene un volumen finito que, por ejemplo, en teoría podría llenarse con una cantidad finita de material, mientras que un universo infinito es ilimitado y ningún volumen numérico podría llenarlo. Matemáticamente, la cuestión de si el universo es infinito o finito se conoce como acotación. Un universo infinito (espacio métrico ilimitado) significa que hay puntos arbitrariamente separados: para cualquier distancia d, hay puntos que están separados por una distancia de al menos d. Un universo finito es un espacio métrico acotado, donde existe una distancia d tal que todos los puntos están a una distancia d entre sí. El más pequeño de tales d se llama el diámetro del universo,

Con o sin límite

Suponiendo un universo finito, el universo puede tener un borde o no tener borde. Muchos espacios matemáticos finitos, por ejemplo, un disco, tienen un borde o un límite. Los espacios que tienen un borde son difíciles de tratar, tanto conceptual como matemáticamente. Es decir, es muy difícil afirmar lo que sucedería en el borde de tal universo. Por esta razón, los espacios que tienen un borde normalmente se excluyen de la consideración.

Sin embargo, existen muchos espacios finitos, como 3 esferas y 3 toros, que no tienen bordes. Matemáticamente, estos espacios se denominan compactos sin límite. El término compacto básicamente significa que es finito en extensión ("limitado") y completo. El término "sin límite" significa que el espacio no tiene bordes. Además, para que se pueda aplicar el cálculo, normalmente se supone que el universo es una variedad diferenciable. Un objeto matemático que posee todas estas propiedades, compacto sin límite y diferenciable, se denomina variedad cerrada. Las 3 esferas y los 3 toros son variedades cerradas.

Curvatura

La curvatura del universo impone restricciones a la topología. Si la geometría espacial es esférica, es decir, posee curvatura positiva, la topología es compacta. Para una geometría espacial plana (curvatura cero) o hiperbólica (curvatura negativa), la topología puede ser compacta o infinita. Muchos libros de texto afirman erróneamente que un universo plano implica un universo infinito; sin embargo, la afirmación correcta es que un universo plano que también está simplemente conectado implica un universo infinito. Por ejemplo, el espacio euclidiano es plano, simplemente conexo e infinito, pero el toroide es plano, multiconexo, finito y compacto.

En general, los teoremas locales a globales en la geometría de Riemann relacionan la geometría local con la geometría global. Si la geometría local tiene una curvatura constante, la geometría global está muy restringida, como se describe en las geometrías de Thurston.

Las últimas investigaciones muestran que incluso los experimentos futuros más potentes (como SKA, Planck...) no podrán distinguir entre un universo plano, abierto y cerrado si el valor real del parámetro de curvatura cosmológica es inferior a 10$^{−4}$. Si el verdadero valor del parámetro de curvatura cosmológica es mayor que 10$^{−3}$podremos distinguir entre estos tres modelos incluso ahora.

Los resultados de la misión Planck publicados en 2015 muestran que el parámetro de curvatura cosmológica, ΩK, es 0,000±0,005, consistente con un universo plano.

Se acepta que el universo es plano, o casi.

La mayoría de la gente parece estar en desacuerdo con que la planitud implica que el único tamaño posible es infinito.

Un trozo de papel plano no es infinito, enrollarlo en un tubo no cambia su tamaño o peso.

Habrían estado en una mejor posición para argumentar lo contrario, que una esfera tiene una superficie finita.

Es probable que no explique su razonamiento porque no es cierto y la lógica no respalda la afirmación.

Mihran Vardanyan (Oxford) tiene 3 artículos sobre arXiv, 2 sobre el universo.

" ¿Qué tan plano puedes volverte? Una perspectiva de comparación de modelos sobre la curvatura del Universo " (20 de abril de 2009), por Mihran Vardanyan (Oxford), Roberto Trotta (Imperial College London) y Joe Silk (Oxford)

Página 14: " 6 CONCLUSIONES

Hemos sometido la geometría del Universo a un escrutinio detallado desde una perspectiva de comparación de modelos, realizando una selección de modelos de tres vías con dos antecedentes motivados físicamente. Descubrimos que los datos actuales brindan evidencia moderada a favor de la planitud (probabilidades máximas de 66: 1) para una elección específica de anterior (el anterior del astrónomo) y suponiendo que la energía oscura es una constante cosmológica. Una escala de curvatura previa y una relajación de la suposición sobre la naturaleza de la energía oscura debilitan considerablemente este resultado, dando solo probabilidades no concluyentes de menos de 3:2 a favor de la planitud. En consecuencia, la probabilidad de que el Universo sea infinito se encuentra en el rango de 67% a 98%, dependiendo de las suposiciones. Si el Universo no es infinito, hemos encontrado un límite inferior robusto para el número de esferas de Hubble,$N_U \gtrsim 5$.

" Aplicaciones del modelo bayesiano promediando la curvatura y el tamaño del Universo " (28 de febrero de 2011), por Mihran Vardanyan (Oxford), Roberto Trotta (Imperial College London) y Joe Silk (Oxford)

Página 1: "La cantidad de curvatura generalmente se caracteriza por el parámetro de curvatura Ωκ: si Ωκ < 0, la geometría de las secciones espaciales es esférica (es decir, el Universo está cerrado) y el Universo tiene un tamaño finito. Si, en cambio, Ωκ > 0, la la geometría es hiperbólica (es decir, el Universo está abierto), mientras que para Ωκ = 0 las secciones espaciales son planas. En los dos últimos casos, la extensión espacial del Universo es infinita".

La definición de " extensión espacial " es el máximo de las coordenadas.

Parece que lo citaron mal.

La afirmación de que "debido a que el universo parece ser plano, debe ser infinito" está muy equivocada. La conclusión no solo no está respaldada por la premisa, sino que sugiere una mala interpretación de la naturaleza de la ciencia.

Estamos en un bote flotando en un océano. Sólo podemos ver una distancia finita en cada dirección. Por lo que podemos ver, no hay nada más que un océano tranquilo, sin curvatura perceptible.

Todo lo siguiente es consistente con lo que vemos:

• El universo es un océano plano infinito.
• El universo es una esfera cubierta de océano, con un radio lo suficientemente grande como para que la parte que podemos ver no tenga una curvatura detectable.
• El universo es un océano plano hiperbólico infinito, con una curvatura tan pequeña que no podemos detectarlo.
• El universo es un océano que no tiene una curvatura uniforme, pero la curvatura en todas partes, o al menos en nuestro vecindario, es lo suficientemente pequeña como para que no podamos detectarla.
• El universo contiene tanto océanos como tierra firme, y estamos en medio de un océano tan grande que no podemos ver las costas.

Esto no agota las posibilidades. Todos estos modelos no solo son posibles, sino que parecen bastante plausibles, dado lo que vemos.

Dados los datos, lo más probable es que los científicos del barco modelen el océano como un plano infinito. Esto no significa que crean que es un plano infinito. Simplemente no tiene sentido usar un modelo más complicado en ausencia de datos para resolver la cuestión de cuál de las infinitas variedades de modelos más complicados podría ser el correcto. Esa es una declaración de la navaja de Occam.

No están dogmáticamente comprometidos con que no haya curvatura, ni masas terrestres, ni siquiera un borde absoluto del mundo donde el océano caiga en un vacío infinito. Si encuentran evidencia de cualquiera de esas cosas, las agregarán a su modelo.

Mirando las respuestas anteriores a esta pregunta, me sorprende el hecho de que la mayoría de ellos sugirieron una topología no trivial como una forma en que un universo plano podría tener un área finita, pero ninguno de ellos mencionó que el universo puede ser simplemente no homogéneo en general. escalas, a pesar del hecho de que, por ejemplo, muchas variedades de cosmología inflacionaria implican un universo no homogéneo, mientras que nunca he oído hablar de un modelo que produzca las condiciones iniciales de un universo FLRW no simplemente conectado. También escribí recientemente una respuesta .eso se trataba en gran parte de un artículo revisado por pares, publicado en una revista respetable, que estaba mal no por un error sutil sino porque los autores (y aparentemente los revisores) parecían no entender completamente el papel de las geometrías FLRW en la cosmología. Todo esto me sugiere que mucha gente tiene una visión dogmática del principio cosmológico.

No hay nada en la relatividad general que requiera que el universo sea descrito por una geometría FLRW. El universo puede tener cualquier forma. La geometría FLRW (variante ΛCDM) es solo la forma más simple que se ajusta a lo que vemos. Es la versión del mundo real del océano planar infinito, nada más.