¿Por qué la métrica FLRW asume una curvatura constante?

Definición 1. Se dice que un espacio-tiempo es espacialmente homogéneo si hay una familia de hipersuperficies de tipo espacial de un parámetro$\Sigma_t$foliando el espacio-tiempo tal que para cada$t$y por cualquier punto$p,q\in\Sigma_t$hay una isometría de la métrica del espacio-tiempo$g$el cual toma$p$a$q$.

Definición 2. Se dice que un espacio-tiempo es isotrópico si en cada punto hay una congruencia de curvas temporales, con las tangentes indicadas$u$, satisfaciendo: Dado cualquier punto p y dos vectores unitarios del espacio en$T_pM$, hay una isometría de$g$que deja$p$y$u$fijo pero gira uno de estos vectores espaciales en el otro.

Restringir$g$a una métrica de Riemann$h$en$\Sigma_t$. La geometría de cada "hoja" de la foliación debe heredar homogeneidad e isotropía.

Dejar${}^{(3)}\operatorname{Riem}$Sea el tensor de Riemann en$\Sigma_t$,$R_\Sigma$Sea la curvatura escalar y$T$Sea el campo tensorial

$$T(X,Y)Z=6\left[h(Z,Y)X-h(Z,X)Y\right]$$ para campos vectoriales $X,Y,Z$.

Teorema. Homogeneidad e isotropía de$\Sigma_t$ $\Leftrightarrow$ ${}^{(3)}\operatorname{Riem}=R_\Sigma T$,$R_\Sigma=\text{const.}$

Prueba. Construya el tensor de Riemann de$\Sigma_t$usando$h$. Uno puede ver esto como un endomorfismo.$L$del espacio de$2$-formas$W$. Por las propiedades de simetría del tensor de Riemann,$L$es simétrico, y por un teorema en álgebra lineal,$W$tiene una base ortonormal de vectores propios de$L$. Si los valores propios fueran distintos, uno podría escoger un valor preferido$2$-formulario en$\Sigma_t$. Usando la estrella de Hodge en$\Sigma_t$, entonces se podría construir un vector preferido. Dado que esto violaría la isotropía, los valores propios deben ser iguales. A este valor lo llamamos$K$:

$$L=K\operatorname{id}_W$$ En otras palabras, $${}^{(3)}R_{ab}{}^{cd}=K\delta^c{}_{[a}\delta^d{}_{b]}$$ dónde ${}^{(3)}R_{ab}{}^{cd}$son los componentes de ${}^{(3)}\operatorname{Riem}$. Contratar todo adecuadamente da $$R_\Sigma=3K$$ La homogeneidad corrige automáticamente $K$ser una constante. $\quad\Box$

Esta prueba sigue muy de cerca la dada en Wald, RM 1984, General Relativity (Chicago University Press).

El radio de curvatura de la métrica FLRW estándar varía con el tiempo.

El radio de curvatura, RoC, es igual a a(t)/k^(1/2), que varía con el tiempo.

k es igual a 1/RoC^2 para a(t) igual a 1.

Se puede considerar que el factor 1/(1-k R^2) se deriva de la derivada de la función ARCSIN(a(t)R/RoC) de la siguiente métrica. La R es la R a escala completa, a(t)R. El k es el recíproco completo del cuadrado de RoC, el valor completo con a(t). Los dos a(t) se cancelan.

La formulación equivalente de la métrica FLRW usando ángulos w, u & v, usando w en lugar de R, es:

ds^2 = -c^2 dt^2 + RoC(t)^2 (dw^2 + sin(w)^2 (du^2 + sin(u)^2 dv^2))

El a(t)R convencional es igual a RoC(t)sin(w) en esta métrica.

Para a(t) igual a 1 en el Universo actual y R y RoC iguales al radio de co-movimiento inferido del Universo observable, k sería muy pequeño.

La métrica FLRW comienza con "la suposición de homogeneidad e isotropía del espacio" . Pero Einstein describió un campo gravitacional como espacio que no es "ni homogéneo ni isotrópico" :

Por lo tanto, dejando de lado la expansión, para el universo como un todo no hay un campo gravitatorio general, y la luz va en línea recta. Por eso decimos que el universo es plano, según los hallazgos de WMAP.

No hay razón para suponer un término de curvatura constante$k$. Asumir un término de curvatura constante es una suposición incorrecta . Y seamos realistas, dos de cada tres "formas del universo" siempre iban a estar equivocadas:

_{Imagen de dominio público cortesía de la NASA}

En mi humilde opinión, el universo es plano, era plano hace mil millones de años y mil millones de años antes de eso. Siempre ha sido plano, y siempre lo será.