Se necesita aclaración sobre (una de) las definiciones de variedad diferenciable

Creo que es implícitamente una suposición por parte de Olver que los conjuntos$\chi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$,$\chi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$son subconjuntos abiertos del espacio euclidiano. En el segundo párrafo de la p. 4,

El grado de diferenciabilidad de las funciones de superposición.$\chi_\beta\circ\chi_\alpha^{-1}$determina el grado de suavidad de la variedad$M$. Estaremos interesados ​​principalmente en variedades suaves , en las que las funciones de superposición son suaves, lo que significa$C^\infty$, difeomorfismos en subconjuntos abiertos de$\mathbb R^m$[énfasis añadido].

Dicho esto, no sé si los supuestos mínimos (a), (b), (c) de la Definición 1.1. en realidad podría implicar ya que$V_\alpha := \chi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)$,$V_\beta := \chi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$ambos son subconjuntos abiertos de$\mathbb R^m$. Pienso en la siguiente proposición como una señal del matiz potencial involucrado en probar$V_\alpha,V_\beta$están abiertos, si esto se puede probar en absoluto.

Proposición. Si al menos uno de$V_\alpha$,$V_\beta$está abierto, entonces ambos están abiertos.

Esta Proposición parece una obviedad, y tal vez incluso un poco pedante de afirmar porque parece obvio que si$V_\alpha$parece una bola unitaria con$C^0$anteojos, entonces$V_\beta$también parece una bola unitaria con$C^0$gafas puestas. Sin embargo, no es trivial demostrar que un homeomorfismo no enviará una buena bola abierta a un conjunto con un "límite". Este problema se conoce como invariancia topológica de la frontera. Cuando cambiamos a$C^1$gafas sin embargo, la suposición de suavidad de los mapas de transición hace que la prueba rigurosa de la invariancia suave de la proposición de límite sea más simple, en comparación. (La prueba$^{[1]}$del$C^1$el caso todavía invoca la$C^1$teorema de la función inversa, un teorema que a menudo se considera la piedra angular de los cursos de análisis real de nivel superior). Ofrezco esta Proposición como una forma de afirmar que creo que la cuestión de si$V_\alpha,V_\beta$están abiertos es quizás una pregunta comparativamente delicada en comparación con el material en el contexto dado en esta parte del libro.

Subrayo que esto no es nada como una "prueba" de la afirmación vaga: es difícil probar que$V_\alpha,V_\beta$estan abiertos. Simplemente no sé cómo demostrarlo.

[1]: Véase el Teorema 1.46 en el libro de John Lee Introducción a las variedades suaves, 2ª ed. para una prueba de la Invariancia Suave de la Frontera y el Problema 17-9 para la prueba de la Invarianza Topológica de la Frontera usando el concepto de cohomología de De Rham.

Llevar$x\in \chi_\alpha^{-1}(W_\alpha)\cap\chi_\beta^{-1}(W_\beta)$, dónde$W_\alpha$es un subconjunto abierto de$V_\alpha\subset \mathbb{R}^m$, el rango de$\alpha$-ésima carta (y análogamente para la$\beta$uno).

Dejar$W'_\alpha=(\chi_\alpha\circ\chi_\beta^{-1})(W_\beta)$. Es un barrio abierto de$\chi_\alpha(x)$contenida en$V_\alpha$.

Entonces$G:=W'_\alpha\cap W_\alpha$es un nbd abierto de$\chi_\alpha(x)$, y puedes comprobar que esto$G$rendimientos por preimagen bajo$\chi_\alpha$un conjunto abierto$\chi_\alpha^{-1}(G)$sentado dentro$\chi_\alpha^{-1}(W_\alpha)\cap \chi_\beta^{-1}(W_\beta)$, y por lo tanto se cumple la Condición 2 en su definición de base.

Observación : implícitamente estoy usando que una intersección finita de conjuntos abiertos es abierta y que los conjuntos abiertos se asignan a conjuntos abiertos bajo homeomorfismos. Nota$\chi_\alpha,\chi_\beta$son de hecho homeomorfismos.