¿Cuál es el operador de rotación de espín para espín > 1/2?

Question

¿Cuál es el operador de rotación de espín para espín > 1/2?

Tarek

para girar $\frac{1}{2}$ , el operador de rotación de espín $R_\alpha(\textbf{n})=\exp(-i\frac{\alpha}{2}\vec{\sigma}\cdot\textbf{n})$ tiene una forma sencilla :

R_{α} (norte) = porque (\frac{α}{2}) - i \vec{σ} \cdot norte pecado (\frac{α}{2})

$R_\alpha(\textbf{n})=\cos\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)-i\vec{\sigma}\cdot\textbf{n}\sin\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)$

¿Qué pasa con el giro> $\frac{1}{2}$ ?

la uve

Estoy bastante seguro de que la forma general de la exponencial sería demasiado complicada. La primera observación es que el espectro de

- i α \vec{σ} \cdot n

$-i\alpha\vec\sigma\cdot\bf n$ en un sistema con espín

s

$s$ es

(- i α (- s), - i α (- s + 1), \dots, - i α (s - 1), - i α s)

$(-i\alpha(-s),-i\alpha(-s+1),\ldots,-i\alpha(s-1),-i\alpha s)$ y por lo tanto funciones goniométricas de argumentos

\frac{1}{2} α

$\frac12\alpha$ a través de

s α

$s\alpha$ para giros semienteros, o

0

$0$ (es decir, un término constante) a través de

s α

$s\alpha$ porque los giros completos estarían presentes.

la uve

Por ejemplo, en el caso

s = 1

$s = 1$ con la representación sugerida por @Arnold Neumaier, ver en.wikipedia.org/wiki/… . Puede identificar términos relacionados con

\cos θ

$\cos\theta$ ,

\sin θ

$\sin\theta$ y constantes en los elementos de la matriz. El resultado se vuelve aún más complejo para giros más altos.

la uve

La razón por la que la exponencial tiene una forma tan simple en el caso

s = \frac{1}{2}

$s=\frac12$ es eso

\frac{α}{2}

$\frac\alpha2$ es la única frecuencia permitida por el análisis que publiqué anteriormente. Ayuda aquí que los poderes de

\vec{σ} \cdot n

$\vec\sigma\cdot\bf n$ son siempre la identidad o la matriz original. En dimensiones superiores, el conjunto

{S_{x}^{k}}^{n}

$\{S_x^k\}^n$ trayectorias un

2 s + 1

$2s+1$ -espacio dimensional de una manera no periódica. Considerar

S_{z} = d i a g (- s, - s + 1, \dots, s - 1, s)

$S_z = \mathord{\rm diag}(-s,-s+1,\ldots,s-1,s)$ .

Respuestas (2)

¿Cuál es el operador de rotación de espín para espín > 1/2?

Estoy bastante seguro de que la forma general de la exponencial sería demasiado complicada. La primera observación es que el espectro de $-i\alpha\vec\sigma\cdot\bf n$ en un sistema con espín $s$ es $(-i\alpha(-s),-i\alpha(-s+1),\ldots,-i\alpha(s-1),-i\alpha s)$ y por lo tanto funciones goniométricas de argumentos $\frac12\alpha$ a través de $s\alpha$ para giros semienteros, o $0$ (es decir, un término constante) a través de $s\alpha$ porque los giros completos estarían presentes.
Por ejemplo, en el caso $s = 1$ con la representación sugerida por @Arnold Neumaier, ver en.wikipedia.org/wiki/… . Puede identificar términos relacionados con $\cos\theta$ , $\sin\theta$ y constantes en los elementos de la matriz. El resultado se vuelve aún más complejo para giros más altos.
La razón por la que la exponencial tiene una forma tan simple en el caso $s=\frac12$ es eso $\frac\alpha2$ es la única frecuencia permitida por el análisis que publiqué anteriormente. Ayuda aquí que los poderes de $\vec\sigma\cdot\bf n$ son siempre la identidad o la matriz original. En dimensiones superiores, el conjunto $\{S_x^k\}^n$ trayectorias un $2s+1$ -espacio dimensional de una manera no periódica. Considerar $S_z = \mathord{\rm diag}(-s,-s+1,\ldots,s-1,s)$ .

Arnold Neumaier · Answer 1

Lo mismo, excepto que el $\sigma_k$ ahora no son matrices de Pauli sino generadores de una representación su(2) del espín deseado. por ejemplo, el $3\times 3$ matrices

σ_{ℓ} := (2 ϵ_{j k ℓ})_{j, k = 1 : 3}

$\sigma_\ell:=(2\epsilon_{jk\ell})_{j,k=1:3}$ definir la representación de espín 1 en 3 vectores. [Tal vez el factor 2 debería tomar un valor diferente.] La fórmula explícita correspondiente proviene de la fórmula de Rodrigues

{mi}^{X (a)} = 1 + \frac{pecado | a |}{| a |} X (a) + \frac{1 - porque | a |}{| a |} X (a)^{2},

$e^{X(a)}=1+\frac{\sin|a|}{|a|}X(a)+\frac{1-\cos|a|}{|a|}X(a)^2,$ dónde

X (a)

$X(a)$ es la matriz mapeando un vector

b

$b$ a

X (a) b = a \times b

$X(a)b=a \times b$ .

Para giros más altos, la fórmula correspondiente dependerá de cómo escribas la representación. Numéricamente, uno simplemente diagonalizaría la matriz en el exponente; entonces calcular la exponencial es trivial. No sé si para el giro general hay alguna ventaja en tener una fórmula explícita.

Bueno, la forma exponencial es la misma, pero la exponencial no se calculará con la misma fórmula fácil, usando solo una $\cos$ y uno $\sin$ del medio ángulo. Eso fue justificado por $-i\frac\alpha2\vec\sigma\cdot\bf n$ que tiene solo dos valores propios imaginarios puros de signo opuesto. Los generadores en representaciones de dimensiones superiores tendrán un mayor número de valores propios en consecuencia, por ejemplo, un adicional $0$ en el caso que usó como ejemplo.
¡Por supuesto que estoy preguntando sobre la fórmula análoga para la expansión de la exponencial en términos de cosenos y senos, no sobre la matriz de espín!
Uno no puede adivinar de su pregunta lo que quiere a menos que lo escriba claramente. Tal vez desee actualizar su pregunta.

Pedro Aguilar · Answer 2

Lo que uno tiene para la vuelta 1/2,

Exp (i α j \cdot \hat{norte}) = porque (α / 2) + i pecado (α / 2) j \cdot \hat{norte},

$\begin{equation} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) = \cos(\alpha/2) + i\sin(\alpha/2)\mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}, \end{equation}$ también para el giro 1 a través de la fórmula de Rodrigues,

\begin{aligned} Exp (i α j \cdot \hat{norte}) & = 1 + i \hat{norte} \cdot j pecado α + (\hat{norte} \cdot j)^{2} (porque α - 1) \\ = 1 + [2 i \hat{norte} \cdot j pecado (α / 2)] porque (α / 2) + \frac{1}{2} {[2 i \hat{norte} \cdot j pecado (α / 2)]}^{2}, \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) & = 1 + i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin\alpha + (\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J})^2(\cos\alpha-1) \\ & = 1 + \left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]\cos(\alpha/2) + \frac{1}{2}\left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]^2, \end{aligned} \end{equation}$ es una representación de espín de los operadores de rotación como polinomios de orden finito de los generadores de rotación para

j = 1 / 2, 1

$j=1/2,1$ , donde los coeficientes son senos y cosenos de la mitad del ángulo de rotación. Se sabía que esto podría extenderse para representaciones de espín más altas, pero la expresión polinomial exacta para cualquier espín

j

$j$ permaneció desconocido. Afortunadamente, en 2014 esta expresión general fue encontrada por Curtright, Fairlie & Zachos. Dejo aquí su publicación: http://arxiv.org/abs/1402.3541

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