Representación de suma directa de múltiples partículas en mecánica cuántica

Question

Representación de suma directa de múltiples partículas en mecánica cuántica

Loonuh

Supongamos que tengo tres partículas de espín 1/2 que no interactúan de modo que puedo representar el sistema combinado en una base de

\begin{aligned} D_{1}^{(1 / 2)} \otimes D_{2}^{(1 / 2)} \otimes D_{3}^{(1 / 2)} & = (D_{12}^{(1)} \oplus D_{12}^{(0)}) \otimes D_{3}^{(1 / 2)} \\ = (D_{12}^{(1)} \otimes D_{3}^{(1 / 2)}) \oplus (D_{12}^{(0)} \otimes D_{3}^{(1 / 2)}) \\ = D_{123}^{(3 / 2)} \oplus D_{123}^{(1 / 2)} \oplus D_{123}^{(1 / 2)} . \end{aligned}

$\begin{align} D^{(1/2)}_1 \otimes D^{(1/2)}_2 \otimes D^{(1/2)}_3 & =\left(D^{(1)}_{12} \oplus D^{(0)}_{12}\right)\otimes D^{(1/2)}_3 \\ & = \left(D^{(1)}_{12} \otimes D^{(1/2)}_3\right) \oplus \left(D^{(0)}_{12} \otimes D^{(1/2)}_3\right) \\ & =D^{(3/2)}_{123} \oplus D^{(1/2)}_{123} \oplus D^{(1/2)}_{123}. \end{align}$

Dado un hamiltoniano en particular, ¿cómo se calculan los valores propios de la energía utilizando esta representación de la teoría de grupos de la base del sistema?

Además, ¿cómo se distingue entre términos recurrentes en la representación de la teoría de grupos? Por ejemplo, hay dos

D_{123}^{(1 / 2)}

$D^{(1/2)}_{123}$ términos anteriores. ¿Qué significa esto físicamente?

gentil

No está muy claro cuál es el

D_{i}^{(1 / 2)}

$D_i^{(1/2)}$ son; ¿Son los espacios de Hilbert donde viven las partículas? Sin embargo, siempre que el hamiltoniano sea la suma directa de hamiltonianos individuales que no interactúan, los valores propios correspondientes son siempre la suma de los valores propios hamiltonianos individuales.

Loonuh

Sí son los espacios de Hilbert donde viven las partículas. ¿Cómo se relaciona esta representación a través de las sumas directas con el hamiltoniano?

gentil

El hamiltoniano debe estar dado, no es algo que se pueda derivar (de hecho, diferentes hamiltonianos pueden corresponder a las mismas representaciones).

Emilio Pisanty

Estrechamente relacionado: Sumar 3 espines de electrones . Resulta que es mucho más difícil encontrar bases para el

D_{123}^{(1 / 2)}

$D^{(1/2)}_{123}$ factores que respetan completamente la simetría de intercambio de electrones de lo que uno pensaría.

Cosmas Zachos

Coeficientes de racah .

Cosmas Zachos

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Respuestas (1)

Representación de suma directa de múltiples partículas en mecánica cuántica

No está muy claro cuál es el $D_i^{(1/2)}$ son; ¿Son los espacios de Hilbert donde viven las partículas? Sin embargo, siempre que el hamiltoniano sea la suma directa de hamiltonianos individuales que no interactúan, los valores propios correspondientes son siempre la suma de los valores propios hamiltonianos individuales.
Sí son los espacios de Hilbert donde viven las partículas. ¿Cómo se relaciona esta representación a través de las sumas directas con el hamiltoniano?
El hamiltoniano debe estar dado, no es algo que se pueda derivar (de hecho, diferentes hamiltonianos pueden corresponder a las mismas representaciones).
Estrechamente relacionado: Sumar 3 espines de electrones . Resulta que es mucho más difícil encontrar bases para el $D^{(1/2)}_{123}$ factores que respetan completamente la simetría de intercambio de electrones de lo que uno pensaría.

ZeroTheHero · Answer 1

Si las partículas no están interactuando, usando la base desacoplada donde los estados son productos directos

| \frac{1}{2} {metro}_{1} ⟩ | \frac{1}{2} {metro}_{2} ⟩ | \frac{1}{2} {metro}_{3} ⟩

$\vert \textstyle\frac{1}{2} m_1\rangle \vert \textstyle\frac{1}{2} m_2\rangle \vert \textstyle\frac{1}{2} m_3\rangle$ o la base acoplada

| \frac{1}{2} METRO; (j_{1} j_{2}) j_{12} j_{3} ⟩, | \frac{3}{2} METRO ⟩

$\vert \textstyle\frac{1}{2}M;(j_1j_2)j_{12}j_3\rangle\, ,\qquad \vert \textstyle\frac{3}{2}M\rangle$ con

j_{12} = 0, 1

$j_{12}=0,1$ , no hace la diferencia.

Una vez no se pueden distinguir los dos $j=\textstyle\frac{1}{2}$ usando argumentos de momento angular solo , es decir, rotando los estados o usando $\hat L_\pm$ y $\hat L_z$ .

Por supuesto que es posible hacer las copias separadas usando operaciones que no están relacionadas con las rotaciones, y en este caso específico estas operaciones son las del grupo de permutaciones. En particular, los estados con $j_{12}=0$ será antisimétrica bajo la permutación de la primera y la segunda partículas, mientras que los estados con $j_{12}=1$ será simétrico bajo tales permutaciones. Para otras permutaciones, los estados transformarán uno en una combinación lineal de los dos.

Representación de suma directa de múltiples partículas en mecánica cuántica

Loonuh

gentil

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gentil

Emilio Pisanty

Cosmas Zachos

Cosmas Zachos

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ZeroTheHero

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