Giro de medio entero y rotaciones infinitesimales

En P. 692 de 'Quantum Mechanics' de Cohen-Tannoudji, afirma que:

Toda rotación finita se puede descomponer en un número infinito de rotaciones infinitesimales, ya que el ángulo de rotación puede variar continuamente, y ya que:

$\begin{equation} \mathcal{R}_{\textbf{u}}(\alpha+d\alpha)=\mathcal{R}_{\textbf{u}}(\alpha)\mathcal{R}_{\textbf{u}}(d\alpha)=\mathcal{R}_{\textbf{u}}(d\alpha)\mathcal{R}_{\textbf{u}}(\alpha), \end{equation}$

dónde$\mathcal{R}_{\textbf{u}}(d\alpha)$es una rotación infinitesimal sobre el eje$\textbf{u}$. Así, el estudio del grupo de rotación puede reducirse a un examen de rotaciones infinitesimales.

Aquí,$\mathcal{R}_{\textbf{u}}(\alpha)$representa una rotación geométrica , es decir, actúa sobre el espacio de coordenadas$\Re^{3}$, y con él está asociado un operador de rotación$R(\alpha)$que actúa sobre el espacio de estados.

En particular, usa esta formulación con rotaciones infinitesimales para luego mostrar que el operador de rotación para una rotación infinitesimal sobre$\textbf{u}$es:

dónde$\textbf{J}$es el operador de momento angular total. A partir de esto, se puede demostrar que el operador de rotación para algún ángulo finito es:

Un ejemplo bien conocido de tal operador de rotación es cuando$\textbf{J}=\textbf{S}$, es decir, el momento angular consiste solo en espín, y cuando$s$sólo se permite tomar valores semienteros, como$\frac{1}{2}$o$\frac{3}{2}$. En este caso, se puede demostrar que$R_{\textbf{u}}(2\pi)=-\mathbb{1}$, en vez de$+\mathbb{1}$, como se obtiene en el caso de partículas de espín entero.

Cohen-Tannoudji explica esto en parte por el hecho de que construimos nuestro operador de rotación de ángulo finito a partir de una composición de operadores de rotación infinitesimales, con la nota al pie:

Sin embargo, limitándonos a rotaciones infinitesimales, perdemos de vista una propiedad 'global' del grupo de rotación finito: el hecho de que una rotación a través de un ángulo de$2\pi$es la transformación de la identidad. Los operadores de rotación construidos a partir de operadores infinitesimales no siempre tienen esta propiedad global. En ciertos casos (y aquí se refiere a partículas de espín-1/2), el operador asociado con un$2\pi$la rotación no es el operador unitario sino su opuesto.

No me queda inmediatamente claro a partir de la construcción que dio por qué los posibles valores de$j$y el hecho de que usamos operadores infinitesimales para construir uno finito debe estar relacionado. ¿Cómo surge esta relación?