¿Qué nos dice la suma de momentos angulares sobre la teoría de grupos?

En realidad, es toda teoría elemental de representación de grupos, pero Dirac, un estudiante de matemáticas en la universidad, echó a perder a 3 generaciones de físicos al hacerlo demasiado fácil y recetario en su libro, hasta el punto de que el texto de Griffiths describe esta estructura matemática básica como un lado. formalidad...

Wikipedia lo dice mejor : los operadores de espín/momento angular actúan sobre los estados y los rotan entre sí de manera que mantienen invariables las características esenciales de la teoría, ya que el hamiltoniano es simétrico con respecto a ellos, conmuta con ellos. Obedecen a 3 relaciones de conmutación, que pueden reescribirse en bases más prácticas, de "escalera".

Una partícula de giro$s_1$es operado por tales operadores, en un$(2s_1+1)$-espacio dimensional. Otra partícula de espín$s_2$es operado por tales operadores, en un$(2s_2+1)$-dimensional. Pero las matrices de diferente tamaño que actúan sobre estos espacios obedecen a las mismas relaciones de conmutación , es decir, son representaciones diferentes del mismo grupo (aquí, SO(3), pero no te preocupes por eso).

Cuando dos de estos componentes se juntan ("agregan"), viven en un "espacio de producto tensorial" de dimensión$(2s_1+1)\times (2s_2+1)$, y el hecho matemático sublime que subyace a esta composición es que los operadores compuestos que actúan sobre ambos espacios obedecen a las mismas relaciones de conmutación del momento angular (su coproducto obedece a la misma álgebra de Lie, en matemático).

Como resultado, los "operadores de momento angular total" están en una$(2s_1+1)(2s_2+1)$-representación dimensional, es decir, son$(2s_1+1) (2s_2+1)\times (2s_1+1)(2s_2+1)$matrices. Estas matrices, sin embargo, son "reducibles", es decir, transformadas adecuadamente por transformaciones de similitud, se rompen en bloques disjuntos que no "hablan" entre sí... nunca llegan a conectar estados sobre los que un bloque actúa con estados de otro bloque Cada uno de esos bloques es, por lo tanto, disjunto, y decimos que la representación compuesta reducible se ha roto en una suma directa de los irreducibles (los bloques)... esta es la serie de Clebsch-Gordan.

Para ilustrar esto con su ejemplo,$s_1=s_2=1/2$, cuando "sumas" los dos, (Kronecker multiplica los dos dobletes, en matemático,${\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 4}$: estos tipos prefieren escribir la dimensionalidad de los espacios vectoriales en negrita). Pero, como has aprendido de tu expansión CG, el trillizo no habla con el singlete --- viven en diferentes mundos alternativos, por así decirlo (en matemáticas, el cuarteto es reducible,${\bf 4}={\bf 3}\oplus {\bf 1}$). En este caso, el s efectivo de los multipletes reducidos es la suma o la diferencia de los dos s s de los multipletes de entrada.

En general, pueden ser muchas cosas complicadas... Por ejemplo, según Wikipedia, tres giros 1/2 se suman a un giro 3/2 y dos giros 1/2,${\bf 2}\otimes{\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 4} \oplus{\bf 2}\oplus{\bf 2}$; o bien, un giro 2 compuesto con un giro 1, produce giros 3, 2 y uno, (${\bf 5}\otimes{\bf 3}={\bf 7} \oplus{\bf 5}\oplus{\bf 3}$en matemático, de acuerdo con las reglas del libro de texto QM.)

Si realmente tiene curiosidad acerca de cómo funcionan tales reducciones en la representación matricial, considere resolver el Problema 4 de mi Algunas notas mías . El capítulo 16 del texto clásico de Mathews & Walker , supuestamente escrito por un joven Sidney Coleman, tiene el 95% de la teoría de grupos de Lie que necesitaría un físico.