¿La simetría de espín-rotación del modelo de Kitaev es D2D2D_2 o Q8Q8Q_8?

Se sabe que el hamiltoniano de Kitaev y su estado fundamental de espín líquido rompen el$SU(2)$simetría espín-rotación . Entonces, ¿cuál es el grupo de espín-rotación-simetría para el modelo de Kitaev?

Es obvio que el hamiltoniano de Kitaev es invariante bajo$\pi$rotación sobre los tres ejes de giro, y en algunos artículos recientes, los autores dan el "grupo" (ver los comentarios al final)$G=\left \{1,e^{i\pi S_x}, e^{i\pi S_y},e^{i\pi S_z} \right \}$, dónde$(e^{i\pi S_x}, e^{i\pi S_y},e^{i\pi S_z})=(i\sigma_x,i\sigma_y,i\sigma_z )$, con$\mathbf{S}=\frac{1}{2}\mathbf{\sigma}$y$\mathbf{\sigma}$siendo las matrices de Pauli.

Pero, ¿qué hay del grupo de cuaterniones?$Q_8=\left \{1,-1,e^{i\pi S_x}, e^{-i\pi S_x},e^{i\pi S_y},e^{-i\pi S_y},e^{i\pi S_z}, e^{-i\pi S_z}\right \}$, con$-1$representando a la$2\pi$operador de giro-rotación. Por otro lado, considere el grupo diédrico$D_2=\left \{ \begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&0 &1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 0& -1 & 0\\ 0&0 &-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0&0 &-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1 & 0 &0 \\ 0& -1 & 0\\ 0&0 &1 \end{pmatrix} \right \}$, y estos$SO(3)$Las matrices también pueden implementar el$\pi$rotación de giro.

Entonces, cuál eliges,$G,Q_8$, o$D_2$? Darse cuenta de$Q_8$es un subgrupo de$SU(2)$, mientras$D_2$es un subgrupo de$SO(3)$. Además,$D_2\cong Q_8/Z_2$, al igual que$SO(3)\cong SU(2)/Z_2$, dónde$Z_2=\left \{ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 &1\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right \}$.

Comentarios: El$G$definido anteriormente ni siquiera es un grupo , ya que, por ejemplo,$(e^{i\pi S_z})^2=-1\notin G$.

Observaciones: Nótese aquí que$D_2$no puede ser visto como un subgrupo de$Q_8$, al igual que$SO(3)$no puede ser visto como un subgrupo de$SU(2)$.

Complementario: como ejemplo, considere un sistema de dos spin-1/2. Queremos obtener algunas ideas sobre qué tipos de funciones de onda preservan la$Q_8$simetría espín-rotación de este modelo más simple. Por conveniencia, deje$R_\alpha =e^{\pm i\pi S_\alpha}=-4S_1^\alpha S_2^\alpha$representan el$\pi$operadores de giro-rotación alrededor de ejes de giro$\alpha=x,y,z$, dónde$S_\alpha=S_1^\alpha+ S_2^\alpha$. Por lo tanto, al decir una función de onda$\psi$tiene$Q_8$simetría espín-rotación, queremos decir$R_\alpha\psi=\lambda_ \alpha \psi$, con$\left |\lambda_ \alpha \right |^2=1$.

Después de un cálculo simple, encontramos que un$Q_8$función de onda simétrica de rotación de espín$\psi$sólo podría tomar una de las siguientes 4 formas posibles:

$(1) \left | \uparrow \downarrow \right \rangle-\left | \downarrow \uparrow \right \rangle$, con$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(1,1,1)$(Estado singlete con plena $SU(2)$simetría espín-rotación), que es aniquilada por$S_x,S_y,$y$S_z$,

$(2) \left | \uparrow \downarrow \right \rangle+\left | \downarrow \uparrow \right \rangle$, con$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(-1,-1,1)$, que es aniquilado por$S_z$,

$(3) \left | \uparrow \uparrow \right \rangle-\left | \downarrow \downarrow \right \rangle$, con$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(1,-1,-1)$, que es aniquilado por$S_x$,

$(4) \left | \uparrow \uparrow \right \rangle+\left | \downarrow \downarrow \right \rangle$, con$(\lambda_x,\lambda_y,\lambda_z)=(-1,1,-1)$, que es aniquilado por$S_y$.

Tenga en cuenta que cualquier tipo de superposición de los estados anteriores ya no sería una función propia de$R_\alpha$y por lo tanto rompería el$Q_8$simetría espín-rotación.