Ruptura de la invariancia del difeomorfismo después de corregir una métrica de fondo

Question

Ruptura de la invariancia del difeomorfismo después de corregir una métrica de fondo

acción
Física
relatividad general
formalismo lagrangiano
difeomorfismo-invariancia

Yildiz

El Lagrangiano para el campo gravitatorio en ausencia de materia es el siguiente

L = 1 / k \int d X^{4} \sqrt{gramo} R,

$L=1/k\int dx^4 \sqrt g R,$ dónde

k = \sqrt{G}

$k=\sqrt G$ ,

g

$g$ es el determinante de la métrica y

R

$R$ el escalar de Ricci. Es posible arreglar una métrica de fondo como

η_{u v}

$\eta_{uv}$ y luego estudiar las perturbaciones

h_{u v}

$h_{uv}$ a su alrededor por

{gramo}_{tu v} = η_{tu v} + k h_{tu v}

$g_{uv}=\eta_{uv}+kh_{uv}$ El lagrangiano se convierte en

L = L^{0} + k L^{1} + k^{2} L^{2} + . . . . . . .

$L=L^{0}+kL^{1}+k^{2}L^{2}+.......$ que puede interpretarse como una teoría de campo efectiva de partículas que interactúan entre sí llamadas gravitones. Ahora, dada la ley de transformación de

h_{u v}

$h_{uv}$ , ¿cómo es posible decir que todo el lagrangiano es invariante, orden por orden, bajo difeomorfismos locales? Por supuesto, la simetría todavía está allí, pero me preguntaba si hay algún tipo de Ruptura de simetría espontánea asociada con el campo de perturbación.

h_{u v}

$h_{uv}$ y el grupo de los difeomorfismos. El procedimiento se parece al SSB para el Bosón de Higgs, donde el Lagrangiano es

L = \partial_{tu} ϕ \partial^{tu} ϕ - {metro}^{2} ϕ^{2} + λ ϕ^{4}

$L=\partial_{u}\phi\partial^{u}\phi - m^{2}\phi^{2}+\lambda\phi^{4}$ Este Lagrangiano es invariante bajo paridad en

ϕ

$\phi$ , pero después de la redefinición en torno al vacío

v

$v$ , el mínimo del potencial, te ocupas

ϕ = v + δ ϕ

$\phi=v+\delta\phi$ y el Lagrangiano en δϕ ya no es invariante de paridad. ¿Sucede esto en el ejemplo anterior después de arreglar un fondo?

AccidentalFourierTransformar

Consulte la Teoría cuántica de campos de Schwartz y el modelo estándar , sección 8.7.2. (y tal vez la sección 22.4)

Yildiz

Recibí solo una respuesta parcial a mi pregunta anterior, así que traté de explicarme de una mejor manera.

Yildiz

Ok, intentaré mirar a Schwartz. De todos modos, me parece que fijar una métrica de fondo rompe la invariancia del difeomorfismo del Lagrangiano.

bob abeja

Hacer un enfoque de perturbación no corrige la métrica. Define efectos de órdenes de magnitud y, si lo haces bien, la serie expandida define una métrica, y aún debe ser invariable para cada orden. La expansión de la perturbación no debería funcionar para un fuerte campo gravitacional encima de su métrica inicial plana. El problema podría ser si no tienes nada para configurar la escala

Yildiz

Ok, pero ¿cómo es posible probar de manera rigurosa que no hay ruptura de la invariancia de los difeomorfismos usando un enfoque perturbativo? He leído muchas veces su declaración, pero nunca he visto una prueba formal.

AccidentalFourierTransformar

@Yildiz no puedes perder simetrías por redefiniciones de campo. En este caso, la redefinición

g = η + h

$g=\eta+h$ es lineal; esto hace que la simetría sea menos obvia/manifiesta pero está ahí.

Yildiz

@AccidentalFourierTransform Me preguntaba si hay algún tipo de SSB después de esta redefinición

g = η + h

$g=\eta+h$ ; no es evidente que el Lagrangiano descrito por

g

$g$ y luego por

h

$h$ es invariante bajo el mismo grupo de simetría.

AccidentalFourierTransformar

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Respuestas (2)

Ruptura de la invariancia del difeomorfismo después de corregir una métrica de fondo

Consulte la Teoría cuántica de campos de Schwartz y el modelo estándar , sección 8.7.2. (y tal vez la sección 22.4)
Recibí solo una respuesta parcial a mi pregunta anterior, así que traté de explicarme de una mejor manera.
Ok, intentaré mirar a Schwartz. De todos modos, me parece que fijar una métrica de fondo rompe la invariancia del difeomorfismo del Lagrangiano.
Hacer un enfoque de perturbación no corrige la métrica. Define efectos de órdenes de magnitud y, si lo haces bien, la serie expandida define una métrica, y aún debe ser invariable para cada orden. La expansión de la perturbación no debería funcionar para un fuerte campo gravitacional encima de su métrica inicial plana. El problema podría ser si no tienes nada para configurar la escala
Ok, pero ¿cómo es posible probar de manera rigurosa que no hay ruptura de la invariancia de los difeomorfismos usando un enfoque perturbativo? He leído muchas veces su declaración, pero nunca he visto una prueba formal.
@Yildiz no puedes perder simetrías por redefiniciones de campo. En este caso, la redefinición $g=\eta+h$ es lineal; esto hace que la simetría sea menos obvia/manifiesta pero está ahí.
@AccidentalFourierTransform Me preguntaba si hay algún tipo de SSB después de esta redefinición $g=\eta+h$ ; no es evidente que el Lagrangiano descrito por $g$ y luego por $h$ es invariante bajo el mismo grupo de simetría.

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

AccidentalFourierTransformar

No, no hay SSB después de una redefinición de campo. Recuerde que SSB es un efecto dinámico. No puede desencadenar efectos dinámicos cambiando sus coordenadas. En el caso escalar, la SSB se activa por un término cuadrático con "el signo incorrecto", no por el cambio de variables $\phi=v+\delta\phi$ . La nueva física es más transparente en las nuevas coordenadas; pero la SSB no es causada por cambiar a las nuevas coordenadas: la simetría se rompe ya sea que defina $\phi=v+\delta\phi$ O no.

En otras palabras, la física es independiente de las coordenadas. Usando $g\to\eta+h$ deja la física invariante. También puedes cambiar $g\to g_0+g_1$ y elige cualquier fondo $g_0$ . El fondo plano es conveniente, pero en la literatura también encontrarás personas que consideran fondos más generales; Por ejemplo, $g_0$ puede tomarse como la métrica de un espacio-tiempo asintóticamente plano. En cualquier caso, la dinámica está determinada por el Lagrangiano, no por las coordenadas.

Yildiz

Entiendo lo que está diciendo, de todos modos, estará de acuerdo conmigo en que cuando cuantizo un sistema para tratar con partículas, tengo que trabajar con un mínimo de potencial, y mientras uso

δ ϕ

$\delta\phi$ Debo tener cuidado porque no es cierto que el lagrangiano sea invariante de paridad cuando "lee" en las perturbaciones: por supuesto, la simetría inicial sigue ahí, pero es menos manifiesta como en el caso del bosón de Higgs. queria saber si en mi caso pasa lo mismo

AccidentalFourierTransformar

Sí, estoy de acuerdo contigo: cuando está escrito en términos de

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ la simetría de calibre es obvia, pero cuando se escribe en términos de

h_{μ ν}

$h_{\mu\nu}$ la simetría ya no es obvia. La simetría no es manifiesta pero está ahí. El análisis de la diferencia. inversión del Lagrangiano de Einstein-Hilbert se analiza en detalle en el libro de Schwartz. Véase también Covarianza general e independencia de fondo en gravedad cuántica , por M. Bärenz.

Yildiz

Eché un vistazo a Barenz y Schwartz, pero no encontré una respuesta. Mi principal problema es el siguiente: la ley de transformación

h_{u v}^{^{'}} = h_{u v} + \partial_{u} ξ_{v} - \partial_{v} ξ_{u}

$h_{uv}^{'}=h_{uv}+\partial_{u}\xi_{v}-\partial_{v}\xi_{u}$ ¿Es la simetría del difeomorfismo aplicada ingenuamente a

h_{u v}

$h_{uv}$ , o es la simetría oculta, la correcta, la que conserva la diferencia. invariancia para

g_{u v}

$g_{uv}$ ?

Yildiz

En el ejemplo del bosón de Higgs es lo mismo que transformar

δ ϕ

$\delta\phi$ en

- δ ϕ

$-\delta\phi$ o

- δ ϕ - 2 v

$-\delta\phi-2v$ : el primero es la paridad aplicada ingenuamente a las perturbaciones que se violan, el segundo es la simetría oculta que asegura que se conserva la paridad para el Lagrangiano en

ϕ

$\phi$ . Puede parecer un juego de palabras, pero no lo es, por favor avísame si me entiendes y trataré de ser más claro.

Yildiz

Seguro que la ley de transformación para la que escribí

h_{u v}

$h_{uv}$ no es el oculto, porque es solo la linealización del verdadero oculto

h_{u v}^{^{'}} = g_{u v}^{^{'}} - η_{u v}

$h_{uv}^{'}=g_{uv}^{'}-\eta_{uv}$ dónde

g_{u v}

$g_{uv}$ se transforma de la forma habitual. Si es así, parece que se viola la invariancia del difeomorfismo.

jamals · Answer 2

Esquemáticamente, la acción de Einstein-Hilbert está dada por,

S \sim \int d^{D} X \sqrt{| det {gramo}_{m v} |} R

$S \sim \int d^D x \, \sqrt{|\det g_{\mu\nu}|} \, \mathcal R$

para una métrica, $g_{\mu\nu}$ . Ahora, como se señaló en las preguntas anteriores y por el OP, uno puede expandir el campo como,

{gramo}_{m v} = η_{m v} + h_{m v}

$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$

y como la métrica inversa es una serie infinita en $h_{\mu\nu}$ , se obtiene un número infinito de términos en la acción de Einstein-Hilbert expresada de esta forma. Este procedimiento no viola la invariancia del difeomorfismo, ya que es una mera redefinición de campo y conocemos todos los términos que suman para dar $S$ .

Podemos expresar cualquier métrica en la forma $\eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$ , es tan trivial como expresar un escalar $\phi$ en términos de dos escalares, uno de los cuales podemos elegir con total libertad, por ejemplo $\phi = \eta + h$ .

Estoy de acuerdo en que queda una simetría después de la redefinición del campo, de todos modos podría ser menos manifiesta. Lo mismo sucede con la Ruptura de Simetría Espontánea para el Bosón de Higgs: el Lagrangiano tiene $\phi$ como campo y es invariante bajo paridad, pero después de la redefinición $\phi=v+\delta\phi$ , el lagrangiano en $\delta\phi$ no es invariante de paridad: por supuesto, la simetría todavía existe pero está oculta. ¿Ocurre esto en nuestro caso? No solo esto: en el ejemplo del bosón de Higgs $v$ era el mínimo de un potencial, pero aquí no tenemos un potencial, así que ¿por qué elegir $\eta_{uv}$ y no otra métrica?
Por supuesto, $\eta_{uv}$ es una elección natural como fondo, de todos modos no hay un procedimiento dinámico que lo dé como fondo. No se deriva como mínimo de un potencial en nuestro Lagrangiano a diferencia del vacío. $v$ para el bosón de Higgs y otros campos.
@Yildiz Simplemente es conveniente expandirse $\eta_{\mu\nu}$ . En la teoría de la perturbación gravitatoria, en realidad nos expandimos alrededor de una métrica general, $g_{\mu\nu} = {g_{0}}_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$ . Las cosas se simplifican para ${g_{0}}_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ .
Seguro que es conveniente en muchas situaciones, pero por lo general esta redefinición de campo se acompaña en muchos libros (por ejemplo, Schwartz) con la afirmación de que GR no es renormalizable, y que para resolver este problema tenemos que encontrar una terminación UV.
No hay nada de malo en esta afirmación, pero también ofrecería otro punto de vista: tal vez el procedimiento de elegir $\eta_{uv}$ tiene un fondo es simplemente incorrecto, no dinámico, y esto podría sugerir que tenemos que cuantificar todo el $g_{uv}$ para obtener una teoría consistente. Diría que este punto de vista diferente sobre el problema es la base de la división entre la teoría de cuerdas y los enfoques LQG sobre la gravedad cuántica.
@Yildiz La división entre la teoría de cuerdas y LQG no tiene nada que ver con eso, porque la teoría de cuerdas no intenta cuantificar una teoría de $g_{\mu\nu}$ ; La gravedad de Einstein emerge como el flujo de grupo de renormalización de la cuerda en un modelo sigma no lineal.
Sé que la teoría de cuerdas no intenta cuantificar $g_{uv}$ y esto está en la base de su enfoque perturbativo. LQG tiene otro enfoque: cuantifica la métrica mediante la cuantificación canónica, lo que lleva a un enfoque no perturbativo. En la base de esta diferencia creo que está lo que dije.

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