¿Rotura espontánea de la simetría en el modelo de Heisenberg?

Me gustaría ofrecer una respuesta contrastante a la de @tparker. Quiero enfatizar el hecho de que en realidad no es necesario introducir ningún campo que rompa la simetría, siempre que use la configuración adecuada. (Por supuesto, puede usar campos que rompan la simetría o condiciones de contorno adecuadas para lograrlo, pero creo que es conceptualmente interesante que no tenga que hacerlo).

Solo discutiré el caso de los sistemas clásicos, ya que estoy mucho más familiarizado con el marco matemático relevante.

El objetivo es definir una medida de Gibbs para un sistema infinito. Esto es necesario, ya que solo los sistemas verdaderamente infinitos experimentan transiciones de fase genuinas (por supuesto, los sistemas finitos grandes pueden mostrar "transiciones de fase" aproximadas y suavizadas). La definición habitual basada en el peso de Boltzmann$e^{-\beta H}$es inútil en este caso, ya que la energía de un sistema infinito suele ser indefinida.

El marco más eficiente para resolver este problema, la llamada teoría de Dobrushin-Lanford-Ruelle, funciona de la siguiente manera. Comento el caso del modelo Ising en$\mathbb{Z}^2$por simplicidad, pero el enfoque es completamente general. Se dice que una medida de probabilidad$\mu$en el conjunto de infinitas configuraciones$\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^2}$es una medida de Gibbs de volumen infinito si, para cualquier conjunto finito$\Lambda\subset\mathbb{Z}^2$y cualquier configuración$\eta\in\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^2\setminus\Lambda}$, la probabilidad condicional de ver una configuración$\sigma$adentro$\Lambda$, dado que la configuración fuera$\Lambda$es dado por$\eta$, está dada por la medida de Gibbs de volumen finito en$\Lambda$con condición de contorno$\eta$. Este último está bien definido (a través del peso habitual de Boltzmann), ya que$\Lambda$es finito

Para modelos con giros compactos (como el modelo de Ising o el modelo de Heisenberg), se garantiza la existencia de medidas de Gibbs de volumen infinito. La unicidad, sin embargo, no se sostiene en general. Para el modelo Ising en$\mathbb{Z}^2$, por ejemplo, existe un valor crítico$\beta_{\rm c}\in(0,\infty)$de la temperatura inversa tal que hay una única medida de volumen infinito cuando$\beta\leq \beta_{\rm c}$, mientras que hay infinitas medidas de Gibbs de volumen infinito cuando$\beta>\beta_{\rm c}$. Resulta que cualquier medida de Gibbs de volumen infinito$\mu$se puede expresar como una combinación convexa de dos de ellos:$\mu = \alpha \mu^+_\beta + (1-\alpha)\mu^-_\beta$, para algunos$0\leq\alpha\leq 1$. Estas dos medidas$\mu^+_\beta$y$\mu^-_\beta$por lo tanto contienen toda la física relevante, y hay buenas razones para considerarlos como los verdaderamente relevantes físicamente. Resulta que la magnetización promedio bajo$\mu^+_\beta$es igual a$m^*(\beta)>0$, la magnetización espontánea (ese es el valor de la magnetización que obtendrías si primero hubieras agregado un campo magnético$h>0$y luego deja$h$disminuir a$0$). Bajo$\mu^-_\beta$, por otro lado, la magnetización promedio es$-m^*(\beta)<0$. En este sentido preciso, existe una ruptura espontánea de la simetría, aunque el procedimiento descrito anteriormente no rompe explícitamente la simetría en ningún paso.

Permítanme ahora vincular brevemente el enfoque anterior (todavía para el modelo Ising en$\mathbb{Z}^2$) con el que utiliza una ruptura de simetría explícita. Una forma estándar de proceder en este caso es considerar una secuencia creciente de subconjuntos finitos$\Lambda_n\subset\mathbb{Z}^2$. Entonces consideramos la medida de Gibbs$\mu^+_{\Lambda_n;\beta}$asociado al modelo de Ising en$\Lambda_n$, con$+$condición de contorno. Entonces se puede considerar el límite (débil) de las medidas de probabilidad$\mu^+_{\Lambda_N;\beta}$como$\Lambda_n$crece para cubrir$\mathbb{Z}^2$. Resulta que la medida límite coincide con la medida de Gibbs de volumen infinito$\mu_\beta^+$derivado arriba. Eso sí, se recupera la medida$\mu^-_\beta$utilizando una secuencia con$-$condición de contorno.

Entonces, los dos enfoques arrojan el mismo resultado, pero insisto en que el primero no requiere una ruptura de simetría explícita. (Además, proporciona un marco mucho más poderoso).

Tres comentarios:

1. Es cierto que en algún momento necesitas un pequeño campo que rompa la simetría. Pero no es necesario que actúe en todos los sitios de manera uniforme; incluso un campo que actúa en un solo sitio es suficiente para romper la simetría. De manera realista, no se puede esperar que pueda realizar un seguimiento de estos pequeños campos en un sistema real. Entonces, filosóficamente, supongo que podría decir que la "ruptura de simetría" no ocurre en la vida real porque la simetría nunca es exacta, pero el punto es que el sistema es inestable a pequeñas asimetrías que no puede rastrear de manera realista.

2. Está asumiendo que el hamiltoniano no cambia en el tiempo. Pero el punto de SSB es que incluso un campo de ruptura de simetría momentáneo es suficiente para romper la simetría permanentemente . Una vez que el sistema cae en una configuración que rompe la simetría, se "atasca" y no puede "saltar" de nuevo a la configuración simétrica.

3. Es cierto que el conjunto de Gibbs siempre es simétrico. Pero el punto de SSB es que en la fase de ruptura de simetría, el conjunto de Gibbs no describe el sistema , sino solo un subconjunto asimétrico del conjunto. Entonces, solo se encuentra en uno de los estados fundamentales, no en una mezcla igualmente ponderada de todos ellos. Esto se llama "romper la ergodicidad".

El libro (Altland y Simons, 2010; pág. 258) (o pág. 263 en la edición de 2006) establece lo siguiente (cita textual de la edición de 2006):

A pesar de la innegable existencia de sólidos, imanes y condensados ​​de Bose de fase definida, la noción de un estado fundamental que no comparte completamente la simetría de la teoría puede parecer paradójica, o al menos "antinatural". Por ejemplo, incluso si cualquier estado fundamental particular del potencial del "sombrero mexicano" que se muestra en la figura anterior "rompe" la simetría rotacional, ¿no deberían todos estos estados entrar en la suma de la partición con el mismo peso, de modo que el resultado neto de la teoría es de nuevo simétrico?

Luego, el libro analiza cómo los campos de ruptura de simetría producen ruptura de simetría como un fenómeno observable. De esta discusión, por lo tanto, deduzco las siguientes dos cosas:

• La ruptura espontánea de la simetría se refiere a los estados fundamentales$\left| GS_n \right>$no poseyendo la misma simetría que la dinámica.
• La razón por la que vemos una ruptura espontánea de la simetría se debe a las imperfecciones.