¿Número de modos de Goldstone en el modelo de Heisenberg?

Me estoy confundiendo acerca de la cantidad de modos de Goldstone presentes en el modelo de Heisenberg. Después de una transformación de Holstein-Primakoff, la energía se puede escribir como:

H = − j S 2 norte z + ∑ k → ε ( k → ) a † ( k → ) a ( k → ) + términos de orden superior
dónde a † ( k → ) y a ( k → ) son operadores bosónicos de creación y aniquilación y:
ε ( k → ) = 2 j S ( 3 − porque ⁡ ( k X a ) − porque ⁡ ( k y a ) − porque ⁡ ( k z a ) )
para mi esto indica 3 modos Goldstone independientes. Pero también he leído que deberíamos tener un modo Goldstone por generador de simetría continua roto; de esto esperaría 2 Modos Goldstone. Esta respuesta sobre una pregunta relacionada también indica que el modelo de Heisenberg es una excepción.

Mi pregunta es entonces: ¿Cuántos modos de Goldstone tiene el modelo de Heisenberg y por qué?

Definitivamente no es 3. ¿Por qué dices eso? Además, ¿el modelo tiene interacciones ferromagnéticas o antiferromagnéticas? Eso cambia todo en ese caso.
@Adam Ferromagnético. Y 3 modos como usted parece tener un modo correspondiente a k → en el X , y o z dirección.
Estás haciendo una gran confusión aquí: la dimensión del espacio (relacionada con el número de k componentes) no tiene nada que ver con el número de modos Goldstone (que está relacionado con el número de simetrías internas no rotas por el estado fundamental). Por ejemplo, el modelo O(N) tiene el modo Goldstone N-1 en cualquier dimensión d>2 (que es la dimensión crítica inferior).
@Adam Ok justo, si amplía dónde se encuentra esta confusión, puede ser una buena respuesta.
@Quantumspaghettification Tal vez útil physics.stackexchange.com/questions/113773/…

Respuestas (1)

Tener un modo Goldstone en ímpetu k = ( k X , k y , k z ) requiere que la energía desaparezca allí, es decir ε ( k ) = 0 . En la zona periódica de Brillouin [ − π a , π a ] × [ − π a , π a ] × [ − π a , π a ] , esto solo ocurre en la zona centro, k = ( 0 , 0 , 0 ) . Más precisamente, para momentos pequeños, tenemos que

ε ( k ) ≈ j S a 2 ( k X 2 + k y 2 + k z 2 ) .

Así que aparentemente solo tenemos un modo Goldstone. ¿Cómo rima esto con que el número de modos de Goldstone sea igual al número de generadores de simetría rotos (que de hecho son dos en este caso)?

La respuesta de que la regla empírica anterior para contar los modos de Goldstone es cierta para las teorías relativistas, donde los modos de Goldstone tienen una dispersión de baja energía ε ∼ | k | . Sin embargo, en el caso anterior, nuestra dispersión de baja energía es cuadrática . De hecho, la fórmula más general se da en este artículo de 1976 " Sobre cómo contar los bosones de Goldstone " de Nielsen y Chadha: los modos donde ε k ∼ | k | z cuenta doble si z incluso. Por eso,

# ( generadores rotos ) = # ( Modos Goldstone con  z  extraño ) + 2 # ( Modos Goldstone con  z  incluso ) .

Ejemplo: el modelo Heisenberg ferromagnético tiene un modo Goldstone con dispersión cuadrática , mientras que el modelo Heisenberg antiferromagnético tiene dos modos Goldstone con dispersión lineal . En ambos casos, esto concuerda con que el número de generadores averiados sea dos .

Referencia relacionada: Descripción unificada de los bosones de Nambu-Goldstone sin invariancia de Lorentz arxiv.org/abs/1203.0609 @RubenVerresen
¿Número de modos de Goldstone en el modelo de Heisenberg?
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