¿Cómo se explica el efecto Meissner por la teoría BCS?

El resultado final es la ruptura espontánea de la simetría de global $U(1)$a$\mathbb{Z}_2$y la rigidez concomitante de la fase coherente omnipresente en la que se rompe el sistema. Sin embargo, tanto la acción microscópica como el estado fundamental BCS (3) de un superconductor poseen $U(1)$simetría de calibre.

Por rigidez, me refiero a algo que recuerda a una fuerza restauradora que se siente cuando uno intenta doblar o distorsionar un palo sólido, que, fundamentalmente, se origina en la ruptura de la simetría traslacional en un sólido cristalino típico. Tenga en cuenta que este$U(1)$la ruptura de simetría no contradice el teorema de Elitzur que prohíbe la ruptura espontánea de la simetría de calibre local. El valor de esta fase en un estado fundamental de superconductividad no es observable (incertidumbre máxima) ya que hay que integrar sobre$\phi\in[0,2\pi)$para recuperar la conservación de partículas. No obstante, su variación en el espacio-tiempo, y por lo tanto su rigidez, no solo es observable físicamente sino también crucial, especialmente en el efecto Meissner y el efecto Josephson.

La forma del estado fundamental BCS (3) (dada al final) dice que todos los pares de Cooper de diferentes momentos$\vec{k}$s comparten exactamente la misma fase relativa en pareja$\phi\equiv \mathrm{arg}(v_{\vec{k}}/u_{\vec{k}})$, a saber, la fase coherente omnipresente mencionada anteriormente es casi del mismo valor dentro de todo el superconductor. Así funciona la brecha$\Delta$en el término de interacción BCS de campo medio$\Delta c^{\dagger}\left(x\right)c^{\dagger}\left(x\right)+\textrm{h.c.}$. Esto también manifiesta la ruptura de la simetría en$\mathbb{Z}_2$solo por eso$\{0,\pi\}$transformación de fase de$\{c,c^\dagger\}$hace que el término sea invariable. (Vea también esta buena respuesta , debido a una discusión con el autor de la cual logré corregir las inexactitudes en mi respuesta).

En la fase superconductora, se puede elegir el calibre unitario para hacer el campo de Goldstone$\phi(x)=0$en todas partes y sin duda llegar a alguna nueva$A'_\mu$(sin embargo, es físicamente innecesario, ya que tiene el mérito de desvanecer los modos Goldstone y ningún fantasma Faddeev-Popov). O, en cambio, se puede reemplazar el campo de calibre sin masa $A_\mu$por un campo vectorial sin calibre recién definido $-\frac{e^*}{c}A'_\mu\equiv \hbar\partial_\mu\phi-\frac{e^*}{c}A_\mu$conservando los tres grados de libertad totales. De todos modos, el nuevo$A'_\mu$es manifiestamente masivo en el Lagrangiano efectivo. Y parece que los fotones acoplados a un superconductor experimentan una especie de ruptura explícita de la simetría de calibre y adquieren masa a través de este mecanismo abeliano de Higgs, que restringe el campo electromagnético de largo alcance a una especie de potencial de Yukawa que decae exponencialmente. Esto no es más que el efecto Meissner aclarado debajo de la ecuación (1).

Y en consecuencia, se construye un estado cuántico coherente macroscópico con rigidez de fase , tal como lo hace (3). Hablando de manera equivalente, este es un fenómeno en el que la fase mecánica cuántica alcanza dimensiones macroscópicas, lo cual es algo natural para los bosones (por ejemplo, la condensación de Bose-Einstein y la superfluidez bosónica de${}^4\mathrm{He}$), y sorprendentemente también se logra a través de la formación de pares de Cooper de Fermions.

Si necesitas más cálculos

• La rigidez dicta el efecto Meissner. Como es bien sabido, en presencia de un campo electromagnético (sin importar si es penetrante o convencional), la función de onda gana una Aharonov-Bohm$U(1)$fase$\mathrm{e}^{\mathrm{i}e\chi(x)/\hbar}$, en donde la fase no integrable$\chi=\int{A_\mu\mathrm{d}x^\mu}$podría, en general, ser dependiente de la ruta. ¿Qué pasa si este sistema posee cierta rigidez de esta distribución de ángulo de torsión?$\chi(x)$? En analogía con la torsión o distorsión en un cuerpo sólido, un término macroscópico$\int{\frac{1}{2}\kappa(\nabla\chi)^2\mathrm{d}V}$surge en la energía libre de este sistema. Un análisis más detallado en la teoría BCS le da un aumento de energía libre (consulte la última sección de esta respuesta)

  $$\Delta G=e^2\frac{\rho}{2m}\int{A^2}\mathrm{d}V,$$ donde la densidad de electrones$\rho=\langle\psi^*(x)\psi(x)\rangle$(grados de libertad de espín ignorados por el momento). Y como resultado de esto, obtenemos una de las ecuaciones de London $$\vec{j}_d=-\frac{\delta\Delta G}{\delta\vec{A}}=-e^2\frac{\rho}{m}\vec{A},\tag{1}$$ cual es el famoso$j\propto A$relación. Combinado con Maxwell Eq.$\vec{j}=\nabla\times\vec{H}$(proporcionó$\vec{A}$no tiene dependencia temporal), puede obtener fácilmente el decaimiento exponencial de$\vec{A}$o$\vec{B}$dentro del superconductor, es decir, el efecto Meissner es requerido obligatoriamente por esta rigidez. En pocas palabras, la superconductividad sirve como un mecanismo que resiste la generación de la fase Aharonov-Bohm debido al campo electromagnético penetrado.

• ¿Por qué persiste la corriente diamagnética? En mecánica cuántica, la corriente eléctrica es igual a la corriente paramagnética restada por la corriente diamagnética

  $$\vec{j}=\vec{j}_p+\vec{j}_d\equiv [\frac{1}{2m}(\psi^*\hat{\vec{p}}\psi-\psi\hat{\vec{p}}\psi^*)]+[-\frac{q}{m}\vec{A}\psi^*\psi].\tag{2}$$
  1. En estado normal, presencia de$\vec{A}$también aumenta la energía libre, sin embargo, de una manera relativamente banal, es decir,$\Delta G=\frac{1}{2}\chi\int{(\nabla\times\vec{A})^2\mathrm{d}V}$. Junto con las ecuaciones de Maxwell, solo se retiene una pequeña corriente diamagnética de Landau$\vec{j}=-\frac{\delta\Delta G}{\delta\vec{A}}=\nabla\times\vec{M}$, dónde$\vec{M}$es la magnetización local. Esto se debe a que el$\vec{j}_p$y$\vec{j}_d$en la ecuación (2) se cancelan entre sí, como es fácil de verificar una vez que se da cuenta de que$\psi$contiene la fase Aharonov-Bohm antes mencionada$\mathrm{e}^{\mathrm{i}e\chi(x)/\hbar}$.
  2. Por otro lado, no existe tal cancelación en una fase superconductora . Corriente paramagnética$\vec{j}_p$obviamente contiene alguna derivada espacial de la fase en$\psi(x)$, es decir, un poco de tensión de la función de onda. Sin embargo, dicha torsión ciertamente no se ve favorecida energéticamente debido a la rigidez discutida anteriormente. En retrospectiva, incluso podrías pensarlo de una manera descuidada: la rigidez repele$\vec{A}$fuera, no$\vec{A}$sin entrada de fase de Aharonov-Bohm$\psi$,$\vec{j}_p=0$como consecuencia. De todos modos, corriente diamagnética.$\vec{j}_d$en (1) persiste perfectamente al final. (Parcialmente cancelado por distinto de cero$\vec{j}_p$cuando$0<T<T_c$de hecho.)

• La teoría BCS proporciona el mecanismo microscópico que produce esta rigidez.

  1. Desde un punto de vista teórico de campos de la teoría BCS, podemos introducir campos bosónicos auxiliares$\Delta\equiv |\Delta(x)|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(x)},\bar{\Delta},\varphi$para realizar la transformación de Stratonovich-Hubbard en la acción BCS$S$. Luego, parte de la acción dice$\frac{1}{2m}\sum_\sigma{\int{(\nabla\theta(x))^2\bar{\psi}_\sigma(x)\psi_\sigma(x)\mathrm{d}V}}$, en donde$\psi$es el campo fermiónico original, que manifiesta conspicuamente la rigidez de fase$\theta$. En efecto,$\Delta$corresponde a la brecha superconductora o el parámetro de orden. Además, después de tediosas manipulaciones y aproximaciones para construir una teoría efectiva de baja energía de$\varphi$y$\theta$, podemos calcular directamente para mostrar que la función de correlación de densidad de corriente paramagnética$\langle j_p^\alpha(x)j_p^\beta(0)\rangle$desaparece cuando$T=0$, lo que sin duda respalda nuestra discusión anterior en la sección 2. Incluso puede ver que esto se debe a la existencia de la brecha$\Delta$.
  2. Para conectar la fase anterior$\theta$de$\Delta$con la fase de la función de onda, podríamos pasar al estado fundamental BCS $$\vert\Psi_{\mathrm{BCS}}(\phi)\rangle=\prod_{\vec{k}}{(|u_{\vec{k}}|+|v_{\vec{k}}|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}c_{\vec{k}\uparrow}^\dagger c_{-\vec{k}\downarrow}^\dagger)\vert 0\rangle}.\tag{3}$$ En el cálculo variacional original de BCS o en el enfoque de transformación de Bogoliubov, esta fase relativa$\phi\equiv \mathrm{arg}(v_{\vec{k}}/u_{\vec{k}})$siempre está directamente relacionado con la brecha$\Delta$porque$\Delta_\vec{k}^*v_\vec{k}/u_\vec{k}\in \mathbb{R}$. En esta etapa, podemos decir una vez más que la función de onda se vuelve sólida y no se produce deformación, por lo tanto$\vec{j}_p$no emerge.

En todas las teorías (Londres, Ginzburg-Landau, Bardeen-Cooper-Schrieffer, Bogoliubov-Gennes) el efecto Meissner se explica como la relación constitutiva$j\propto A$: la corriente es proporcional al potencial vectorial. (El factor de proporcionalidad depende del sistema de unidades, así que olvidémonos de eso aquí).

Para la teoría fenomenológica de London, esta relación se elige para verificar la relación de Meissner, y se llama relación (constitutiva) de London en su honor. En la teoría semifenomenológica à la Ginzburg-Landau, esa es la estructura de calibre además de la transición de fase que fuerza la proporcionalidad entre$j$y$A$.

En teoría microscópica, esta relación es un poco falsa, ya que la ecuación de Schrödinger ya tiene esta estructura. Recuerda que la corriente es$j\propto \Im\left(\Psi \nabla \Psi^{\ast}\right)+A\left|\Psi\right|^{2}$en la mecánica cuántica (primera cuantificada). Entonces, lo que tienes que mostrar es que la contribución paramagnética ($j_{P}\propto\Im\left(\Psi \nabla \Psi^{\ast}\right)$) desaparece en un superconductor, y solo la contribución diamagnética$j_{D}\propto A\left|\Psi\right|^{2}$sobrevive Tenga en cuenta que en la teoría de Ginzburg-Landau el término paramagnético desaparece por una "elección de calibre". En la terminología moderna, esta "elección de calibre" se denomina mecanismo de Anderson-Higgs. A partir de la teoría microscópica se puede demostrar que la contribución paramagnética se desvanece.

Todos los cálculos son muy claros en el documento original.

J. Bardeen, LN Cooper y JR Schrieffer, Theory of Superconductivity Phys. Rev. 108, 1175 (1957) .

a la que se puede acceder de forma gratuita desde la web del editor. Ver especialmente la sección V. Propiedades electrodinámicas .

El factor de proporcionalidad entre$j$y$A$tiene algo que ver con la longitud de penetración de Londres$\Lambda$:$j\propto A/\Lambda$(válido solo para algunos superconductores, encuentre los detalles relevantes en el documento de BCS). Esta longitud de penetración se puede medir directamente y es proporcional a la amplitud del espacio, el parámetro de orden superconductor. Esa es la predicción correcta de las tendencias genéricas de la longitud de penetración que sirvió como (una de) la base para la verificación de la teoría BCS.

En realidad, lo que BCS demostró es que$\lim_{q\rightarrow 0}j\propto A$ya que consideraban el sector de bajo consumo energético. A partir de la expresión de la primera corriente cuantificada, una transformada de Fourier muestra que$\lim_{q\rightarrow 0}j\propto A$en general, por lo que parece que el efecto Meissner es una propiedad genérica de los sistemas cuánticos. Entonces, la pregunta: ¿realmente necesitamos BCS para comprender la superconductividad? La respuesta es claramente sí , y la razón sigue. En la teoría cuántica de campos, solo los bosones tienen una expresión similar a la de Schrödinger para la corriente. En resumen, el efecto Meissner es un efecto natural para los bosones. Conclusión: lo que es realmente fundamental para la superconductividad no es la$j\propto A$relación (ya que esto siempre es válido para cualquier sistema de bosones en el límite$q\rightarrow 0$), pero para entender cómo se comporta un líquido fermiónico como uno bosónico!?! En resumen, el efecto Meissner es solo una consecuencia natural de la condensación de los pares de Cooper, que son (más o menos) bosones. Lo que es importante para la teoría BCS es el tratamiento de campo medio del efecto Cooper, que transmuta fermiones en bosones.

Por favor, dígame si necesita más detalles. Creo que el documento de BCS es realmente pedagógico, pero no dude en solicitar más detalles.

@FraSchelle Creo que entiendo (algo) los fundamentos de la creación masiva de fotones en SC (a través de Higgs mech.) como lo presentó ... Sin embargo, me gustaría preguntar ... ¿existe la posibilidad de que dado que un rayo láser es un condensado bosónico, rompe la simetría (de manera similar) y, lo que es más importante, existe alguna posibilidad de fotones masivos debido al mecanismo de Higgs. ? ¿Si no, porque no? Gracias; Gary

Dudo de cualquier explicación del efecto Meissner dentro de la formulación actual de la teoría sc BCS.

1. El viejo proof'' just shows in bulk, that if there is anpotencial atractivo correlacionando electrones de espín y momento opuestos, luego en una fase de equilibrio de ruptura de simetría estable, con promedios anómalos$<a_{k,,+1/2}a_{k,-1/2}>\neq0$el coeficiente$\kappa(k)$en la relación lineal entre las transformadas de Fourier de la densidad de corriente transversal promedio y el vector potencial transversal$\tilde{\vec{j}}(k)_{\perp}=\kappa(k)\tilde{\vec{A}(k)}_{\wr\perp}$el coeficiente$\kappa(k)$es positivo en$k=0$. El potencial vectorial considerado aquí (en una teoría basada únicamente en partículas cargadas interactuantes de Coulomb) debe interpretarse como el campo sc. Sin embargo, si ocurre el efecto Meissner, entonces ambos lados son idénticamente cero y esta relación no prueba nada.

2 . Por lo general, se compara la segunda ecuación de Londres en equilibrio:$\nabla^{2}\vec{B}-\frac{1}{\Lambda^{2}}\vec{B}=0$con la ecuación de Debye en equilibrio para la penetración del potencial eléctrico sc en un semiconductor$\nabla^{2}V-\frac{1}{\lambda^{2}}V=0\quad$.

Para obtener esta ecuación en un semiconductor se parte de la ecuación de Poisson:$\nabla^{2}V=-4\pi\rho$y deriva una relación local$\rho(x)=-\frac{1}{4\pi\lambda^{2}}V(x)\quad.$

Tal relación puede obtenerse mediante la suposición de una distribución clásica de Maxwell para$V/k_{B}T<<$, o por un argumento de respuesta lineal de mecánica cuántica sobre correlaciones de corto alcance incluso en una vecindad más pequeña que$\lambda$a la superficie. A partir de entonces, se define el campo externo fuera del semiconductor por$V_{ext}(x)=-xE$e impone la ecuación de continuidad para la derivada del potencial perpendicular a la superficie. Esto lleva a la proyección de Debye.

Ahora, mientras que la ecuación de Bogolyubov-de Gennes (¡con un potencial de contacto!) ofrece una descripción en la superficie, ningún argumento puede justificar una relación local.$\vec{j}_{\perp}(x)=-\frac{1}{\Lambda^{2}}\vec{A}(x)$para distancias inferiores$\Lambda$de la superficie De hecho, más allá de los formidables esfuerzos para calcular la corriente sc promedio relacionada con el potencial del vector sc en la vecindad de la superficie (nunca vi en la literatura), difícilmente será de corto alcance, ya que las transiciones de fase suelen ir acompañadas de correlaciones de largo alcance. .

Si alguien sabe una respuesta a estos problemas, me encantaría conocerla.

Nota añadida:

*En un libro reciente [1] se puede encontrar una formulación clara del motivo del fracaso de las teorías actuales de la superconductividad para explicar el efecto Meissner. Si bien todos están de acuerdo en que el campo magnético producido por los electrones es esencial (totalmente opuesto al campo aplicado), el campo magnético en estas teorías no es una variable dinámica por lo que no puede ser modificado por la presencia de la materia. La salida de este callejón sin salida solo se puede realizar teniendo en cuenta la interacción entre las corrientes (¡Biot-Savart!), Que se deriva de una aproximación 1/c ^ 2 consecuente del QED no relativista en estados sin fotones. Por cierto, contrariamente a las afirmaciones frecuentes, un hamiltoniano no puede ser invariante frente a las transformaciones de calibre, ¡excepto la de los campos externos!

[1] Ladislaus Alexander Bányai, Compendio de la teoría del estado sólido, segunda edición, Springer Nature (2020)*