¿Es un phason un modo Goldstone?

Question

¿Es un phason un modo Goldstone?

Física
muchos cuerpos
materia Condensada
ruptura de simetría

parker

Supongamos que tenemos un sistema de celosía cuyo estado fundamental es una onda de densidad de carga (CDW) inconmensurable. Estrictamente hablando, este estado fundamental no tiene modos de Goldstone porque la única simetría que se rompe espontáneamente es la simetría de traslación discreta de la red. Pero los posibles estados de simetría rota varían continuamente (pueden ser parametrizados continuamente por el cambio de fase arbitrario por el cual el CDW se traduce en relación con alguna configuración de referencia), razón por la cual las fases(distorsiones de la CDW con longitudes de onda arbitrariamente largas y bajas energías) no tienen espacios. Esto parece ser exactamente lo que esperaríamos de un modo Goldstone. ¿Debo pensar en un phason como un modo Goldstone? ¿Es la existencia de una variedad de estado fundamental degenerada continua más importante para el comportamiento "similar a Goldstone" que la existencia de una simetría rota espontáneamente continua?

Tomáš Brauner

Solo por curiosidad, ya que no sé nada sobre cuasicristales: ¿cómo se asegura una degeneración continua exacta de los estados fundamentales sin una simetría continua rota espontáneamente?

Rococó

Una pregunta ingenua: ¿se puede pensar en la transición CDW precisamente como una ruptura espontánea de esta "simetría" de cambio de fase continua (además de la simetría de red discreta)? Y si no, ¿por qué?

parker

@TomášBrauner Creo que no es matemáticamente trivial probarlo. Tal como lo entiendo, la idea aproximada es pensar que cada sitio en la red está fijado en su posición por una fuerza restauradora con energía potencial.

k δ x^{2}

$k\, \delta x^2$ . Si trasladas un retículo periódico con espaciado unitario

a

$a$ una pequeña distancia

δ x ≪ a

$\delta x \ll a$ desde donde "quiere" estar, todos los resortes se estiran y obtienes una energía de gran escala

N k δ x^{2}

$N\, k\, \delta x^2$ . Pero si haces lo mismo con un cuasicristal, se puede demostrar que dado que no hay un espacio de red entre unidades, resulta que la nueva posición de muchos...

parker

@TomášBrauner ... los sitios estarán extremadamente cerca de las posiciones de equilibrio de diferentes sitios. Entonces, en lugar de estirar todos por la misma longitud

δ x

$\delta x$ , muchos de los resortes se "ajustarán" a un nuevo sitio de fijación y reducirán su energía, por lo que la energía total de la traducción se escalará de manera subextensiva, y a partir de ahí, ¿de alguna manera argumenta que dicha traducción no tiene costo energético? Fuera de mis profundidades aquí.

parker

@TomášBrauner Es mucho más fácil probar una onda de densidad de carga inconmensurable: a menudo puede encontrar una relación de dispersión de banda explícita

ϵ (k)

$\epsilon(k)$ y demuestre que tiene dos mínimos degenerados en

\pm k_{0}

$\pm k_0$ , dónde

a k_{0} \neq π / n

$a k_0 \neq \pi/n$ es inconmensurable. Luego, eligiendo combinaciones lineales de los

\pm k_{0}

$\pm k_0$ estados con el desplazamiento de fase apropiado, puede traducir el CDW por cualquier fase que desee.

parker

@Rococo Definitivamente tienes razón en que esto es exactamente lo que está sucediendo heurísticamente. El problema es cómo hacerlo riguroso. El colector GS degenerado tiene una "simetría" de cambio de fase continua entre comillas, pero no una simetría de cambio de fase continua sin comillas. Es decir, no puedo pensar en ningún grupo de operadores de Lie de un solo parámetro

U (δ)

$U(\delta)$ que todos conmutan con la red hamiltoniana y que satisfacen

⟨ n_{x} ⟩ = A \cos (k x) ⟹ ⟨ U^{†} n_{x} U ⟩ = A \cos (k x - δ)

$\langle n_x \rangle = A \cos(kx) \implies \langle U^\dagger n_x U \rangle = A \cos(kx - \delta)$

parker

@Rococo Dado que los requisitos técnicos del teorema de Goldstone no se cumplen, me pregunto si todavía es necesariamente cierto y, de ser así, cómo demostrarlo.

Tomáš Brauner

@tparker ¡Gracias por la explicación! Esto suena muy interesante, aunque debo admitir que necesitaré algo de tiempo para digerir los detalles :)

Respuestas (4)

¿Es un phason un modo Goldstone?

Solo por curiosidad, ya que no sé nada sobre cuasicristales: ¿cómo se asegura una degeneración continua exacta de los estados fundamentales sin una simetría continua rota espontáneamente?
Una pregunta ingenua: ¿se puede pensar en la transición CDW precisamente como una ruptura espontánea de esta "simetría" de cambio de fase continua (además de la simetría de red discreta)? Y si no, ¿por qué?
@TomášBrauner Creo que no es matemáticamente trivial probarlo. Tal como lo entiendo, la idea aproximada es pensar que cada sitio en la red está fijado en su posición por una fuerza restauradora con energía potencial. $k\, \delta x^2$ . Si trasladas un retículo periódico con espaciado unitario $a$ una pequeña distancia $\delta x \ll a$ desde donde "quiere" estar, todos los resortes se estiran y obtienes una energía de gran escala $N\, k\, \delta x^2$ . Pero si haces lo mismo con un cuasicristal, se puede demostrar que dado que no hay un espacio de red entre unidades, resulta que la nueva posición de muchos...
@TomášBrauner ... los sitios estarán extremadamente cerca de las posiciones de equilibrio de diferentes sitios. Entonces, en lugar de estirar todos por la misma longitud $\delta x$ , muchos de los resortes se "ajustarán" a un nuevo sitio de fijación y reducirán su energía, por lo que la energía total de la traducción se escalará de manera subextensiva, y a partir de ahí, ¿de alguna manera argumenta que dicha traducción no tiene costo energético? Fuera de mis profundidades aquí.
@TomášBrauner Es mucho más fácil probar una onda de densidad de carga inconmensurable: a menudo puede encontrar una relación de dispersión de banda explícita $\epsilon(k)$ y demuestre que tiene dos mínimos degenerados en $\pm k_0$ , dónde $a k_0 \neq \pi/n$ es inconmensurable. Luego, eligiendo combinaciones lineales de los $\pm k_0$ estados con el desplazamiento de fase apropiado, puede traducir el CDW por cualquier fase que desee.
@Rococo Definitivamente tienes razón en que esto es exactamente lo que está sucediendo heurísticamente. El problema es cómo hacerlo riguroso. El colector GS degenerado tiene una "simetría" de cambio de fase continua entre comillas, pero no una simetría de cambio de fase continua sin comillas. Es decir, no puedo pensar en ningún grupo de operadores de Lie de un solo parámetro $U(\delta)$ que todos conmutan con la red hamiltoniana y que satisfacen $\langle n_x \rangle = A \cos(kx) \implies \langle U^\dagger n_x U \rangle = A \cos(kx - \delta)$
@Rococo Dado que los requisitos técnicos del teorema de Goldstone no se cumplen, me pregunto si todavía es necesariamente cierto y, de ser así, cómo demostrarlo.
@tparker ¡Gracias por la explicación! Esto suena muy interesante, aunque debo admitir que necesitaré algo de tiempo para digerir los detalles :)

James Rowland · Answer 1

Esta pregunta me molestó durante la mayor parte del viernes. Parece obvio que es un modo Goldstone. Puedes traducir el ICDW y la energía no cambia. Sin embargo, no está claro qué simetría continua queda ya que la red ya ha roto la simetría de traslación. Para llegar al fondo del problema, debemos centrarnos en el hamiltoniano relevante, que es electrón+fonón.

H = \sum_{k} ϵ_{k} C_{k}^{†} C_{k} + \sum_{q} ℏ ω_{q} b_{q}^{†} b_{q} + \sum_{k, q} gramo (k) C_{k + q}^{†} C_{k} b_{q} + h . C .

$H=\sum_k\epsilon_k c_k^\dagger c_k+\sum_q\hbar\omega_q b_q^\dagger b_q+\sum_{k,q}g(k)c_{k+q}^\dagger c_kb_q+h.c.$ dónde

c_{k}^{†}

$c_k^\dagger$ y

b_{q}^{†}

$b_q^\dagger$ son operadores de creación de electrones y fonones respectivamente y

h . c .

$h.c.$ denota el conjugado hermitiano del término de interacción. Este hamiltoniano es invariante bajo la transformación continua

C_{k} \to C_{k} {mi}^{i k a φ} b_{q} \to b_{q} {mi}^{i q a φ}

$c_k\to c_k e^{ika\varphi} \\ b_q\to b_q e^{iqa\varphi}$ para cualquier elección de

φ

$\varphi$ , y

a

$a$ es la constante de red. Para ver que esta es la fase relevante para CDW, considere un sistema 1D simple con transición de Peierls. Allí, el CDW hace que los fonones se condensen y el parámetro de orden complejo

Δ

$\Delta$ es

Δ = | Δ | {mi}^{i φ} = gramo (2 k_{F}) ⟨ b_{2 k_{F}} + b_{- 2 k_{F}}^{†} ⟩ .

$\Delta=|\Delta| e^{i\varphi}=g(2k_f)\langle b_{2k_f}+b_{-2k_f}^\dagger\rangle.$ la fase de

Δ

$\Delta$ se elige por ruptura espontánea de simetría con

φ

$\varphi$ parametrizando la simetría continua para que haya un modo goldstone. Para completar la densidad de carga es

ρ_{0} + d ρ porque (2 k_{F} X + φ) .

$\rho_0+\delta\rho\cos(2k_f x+\varphi).$ El parámetro de orden CDW que obtuve de esta referencia .

Tras la inspección inicial, la simetría continua aquí parece ser una invariancia de traslación ordinaria ( $\psi_k\to \psi_k e^{ikr}$ ). Esto no puede ser correcto ya que la simetría de traducción ya se rompió al formar la red y los fonones. La simetría continua que $H$ poseer es un $U(1)$ simetría que es un remanente de la simetría de traslación completa $\mathbb{R}=\mathbb{Z}\times U(1)$ . los $U(1)$ componente de $\mathbb{R}$ es una simetría de traslación con traslación definida únicamente dentro de una celda unitaria de la red. La traducción por celdas unitarias múltiples proviene de la $\mathbb{Z}$ Factor de $\mathbb{R}$ .

¿No es esta simetría continua equivalente a la invariancia de traslación continua? Si piensa que los electrones y los fonones están descritos por algunos campos locales, entonces en la descomposición de Fourier los operadores de aniquilación generalmente aparecen en la combinación $c_ke^{ikx}$ y lo mismo para $b_q$ . Su transformación de fase es entonces equivalente a $x\to x+a\varphi$ , ¿no?
No es invariancia de traducción. Los números de onda en el hamiltoniano electrón+fonón están restringidos a la primera zona de Brillouin. Esto no era obvio para mí cuando leí tu comentario por primera vez, así que gracias por señalarlo.
¡Ajá, por supuesto, el sistema se define en una red discreta! ¿Todavía se puede definir una densidad local de la carga conservada para esta simetría? Un modo Goldstone es mucho más que una brecha cero. Debe acoplarse a la corriente conservada (carga), que a su vez restringe sus interacciones.
Esta es probablemente una pregunta muy tonta, pero ¿el término de interacción es realmente invariable bajo su transformación? No $c^\dagger c b + c^\dagger c b^\dagger$ transformar a $c^\dagger c b e^{i q a \varphi} + c^\dagger c b^\dagger e^{-i q a \varphi}$ ? Además, como pregunta @TomášBrauner, ¿cuál es la corriente conservada a la que se acopla la simetría U(1)?
Tienes que hacer un seguimiento de la $q$ índices $c_{k+q}^\dagger c_k b_q\to (c_{k+q}^\dagger e^{-i(k+q)a\varphi})(c_{k} e^{ika\varphi})(b_q e^{iqa\varphi}).$ El otro término se cumple porque es conjugado hermitiano. Desde el $U(1)$ es un remanente de la invariancia de traslación la corriente conservada es el impulso. Tenga en cuenta que la corriente conservada asociada con los fonones es el momento del cristal.

auden joven · Answer 2

Referencias

He encontrado múltiples referencias en la literatura científica que se refieren a los fasones como un modo Goldstone. A continuación se muestran algunos ejemplos con enlaces:

"... los modos suave, de amplitud y de fase (Goldstone)..." de Phase Transitions in Liquid Crystals editado por Arthur N. Chester (formato de libro de Google abierto en la página correcta aquí )
"Los modos de Goldstone que evolucionan de los satélites magnéticos consisten en modos de onda de espín transversal y modos de fase longitudinal..." del resumen de Goldstone Modes and Low-Frequency Dynamics of Inconmensurate Chromium Alloys de RS Fishman y SH Liu (el resumen puede ser encontrado aquí )
"... el modo más fuerte es el modo phason (Goldstone) ..." de Probability Measures on Semigroups: Convolution Products, Random Walks and Random Matrices de Goran Hognas y Arunava Mukherjea (formato de libro de Google abierto en la página correcta aquí )
"... el modo phason (Goldstone) ..." de Relaxation Phenomena: Liquid Crystals, Magnetic Systems, Polymers, High-Tc Superconductors, Metallic Glass editado por Wolfgang Haase (formato de libro de Google abierto en la página correcta aquí )

Esta búsqueda en Google contiene más referencias. Esto hace que parezca (como dijo tparker en los comentarios) que es "moralmente", aunque no estrictamente, un modo Goldstone. Esto ahora plantea la pregunta, ¿cuál es la relación real entre los modos phason/Goldstone?

Relación

Después de buscar una descripción más detallada de la relación entre las fases y los modos de Goldstone, encontré esta pregunta de física.SE . Debajo de la respuesta, el segundo comentario dice

Según tengo entendido, el modo Goldstone siempre corresponde a la fluctuación de la "fase", mientras que la fluctuación de la "amplitud" puede llamarse modo Higgs. Entonces, cuando hablamos del modo Goldstone sin espacios en SDW, debería relacionarse con la fluctuación de las direcciones de giro en lugar de la longitud de giro. Por lo tanto, creo que solo hay excitaciones de "Phason" en SDW, pero convencionalmente llamamos a las excitaciones "magnons" o spin-wave (socio clásico). Espero que este comentario te pueda ser útil.

Este documento también tiene algunas secciones relevantes sobre fasones y modos de Goldstone. Este libro tiene información que podría ser útil, pero desafortunadamente no puedo encontrar una copia gratuita en línea y la muestra del libro de Google que he vinculado tampoco incluye algunas de las páginas relevantes.

También encontré una cita del libro Liquid Crystals in the Nineties and Beyond (editado por S. Kumar; formato de libro de Google abierto en la página correcta aquí ): "El modo Goldstone, que es un modo de fase con el vector de onda en el centro de la dispersión..." lo que hace que parezca que un modo Goldstone es un modo de fase, y no al revés.

Encontré un artículo que también podría ayudar: Phason dynamics in nonlinear photonic quasicrystals de Barak Freedman, Ron Lifshitz, Jason Fleischer y Mordechai Segev (el pdf se puede descargar aquí ). La sección que parece ser relevante para su pregunta hamiltoniana está en la última página, en el último párrafo...". Como tal, el comportamiento de fase observado es representativo de una dinámica hamiltoniana más general que se encuentra comúnmente en la formación de patrones de no equilibrio sistemas". Hay, por supuesto, otras secciones relevantes.

¡Espero que esto ayude! Continuaré actualizando esto a medida que encuentre más información.

@tparker, avíseme si necesito agregar algo más a mi respuesta; Me gustaría mejorarlo donde sea posible.
Bueno, estrictamente hablando, un modo Goldstone debe corresponder a una simetría continua rota espontáneamente, y un CDW no rompe ninguna simetría continua, por lo que un fason no es literalmente un modo Goldstone según la definición habitual. El hecho de que tantos autores lo hayan llamado modo Goldstone parece reforzar mi sospecha de que es "moralmente" (aunque no estrictamente) un modo Goldstone, pero me gustaría ver una discusión real sobre este tema, no solo una referencia pasajera. .
@tparker, acabo de encontrar esta pregunta que tiene algunos comentarios interesantes en las respuestas; ellos podrían ayudarte. Actualicé mi respuesta con el comentario relevante. Seguiré buscando más información.
El caso de una onda de densidad de espín es un poco diferente (en ausencia de un campo aplicado), porque la dirección de los espines en realidad rompe la simetría continua de espín SU(2). Entonces, hay un verdadero modo Goldstone (magnones) que corresponde a cambios lentos en la dirección en la que apuntan los giros, así como un modo similar a un fasón que corresponde a cambios lentos en la fase de la modulación de amplitud. Creo que el comentarista puede estar confundiendo los dos.
El documento que menciona parece definir al principio un modo Goldstone como cualquier modo sin espacios, lo que creo que es un poco descuidado. Luego, más adelante dice que para un cristal en lugar de un cuasicristal, "el fasón pierde su estado como un modo de Goldstone que surge de una simetría continua", lo cual no entiendo, ¿de qué simetría continua están hablando? Los cuasicristales no tienen simetrías excepto una simetría rotacional discreta alrededor de un solo punto.
Estas referencias son útiles, pero aún me gustaría ver una discusión que señale explícitamente que los fasones no corresponden a ninguna simetría rota espontáneamente del hamiltoniano original.

Simón lugar · Answer 3

¿Es la existencia de una variedad de estado fundamental degenerada continua más importante para el comportamiento "similar a Goldstone" que la existencia de una simetría rota espontáneamente continua?

Un par de artículos recientes de Takahaski y Nitta abordan esta pregunta: https://arxiv.org/pdf/1404.7696v3.pdf

https://arxiv.org/pdf/1410.2391v2.pdf

Los autores usan la teoría de Bogoliubov para mostrar que cuando el estado fundamental exhibe simetrías emergentes, es decir, aquellas que tienen generadores que no conmutan con el hamiltoniano, aún anticipamos modos sin espacios que surgen de los generadores de la degeneración continua del estado fundamental, llamada modos cuasi-Goldstone. Esencialmente, uno puede identificar modos cero (vectores propios de $H_{k=0}$ con valor propio cero) asociado con generadores de simetría del estado fundamental. Sin embargo, creo que este resultado se basa en la teoría de Bogoliubov y, por lo tanto, es más relevante para los condensados de Bose-Einstein.

Cristina · Answer 4

Estoy pensando exactamente en la misma pregunta hace dos semanas. Y estaba pensando que esta simetría parecía ser una simetría U(1) o algo así, porque el sistema es invariable bajo la variación continua de esa fase theta, tal como dijiste.

Más tarde, descubrí que esto es en realidad la simetría quiral de los campos que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha, y si escribe los parámetros de orden como un vector de dos componentes, variando $\theta$ es lo mismo que rotar este "orden-parámetro-vector". Por otro lado, variando $\theta$ es lo mismo que la traducción de la distribución de carga. Entonces, una simetría quiral continua es lo mismo que una simetría de traslación continua de la distribución de carga. Es por eso que el modo de fase no tiene pausas. Una desviación infinitesimal d $\theta$ es como un modo de fonón acústico de longitud de onda muy larga.

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