Cómo argumentar rigurosamente que el estado de superposición es inestable en el caso de ruptura de simetría espontánea

1.

El punto clave que te estás perdiendo es que la ruptura espontánea de la simetría, o de hecho la noción de transiciones de fase en general, solo funciona para sistemas con interacciones locales . Una transición de fase se define como un punto en el espacio de parámetros hamiltonianos en el que la densidad de energía libre se vuelve no analítica en el límite de tamaño infinito. Esta definición presupone obviamente la existencia de un límite de sistema infinito bien definido de la densidad de energía libre. Pero para sistemas reticulares invariantes traslacionalmente como el modelo de Ising, la densidad de energía libre solo se aproxima a un valor constante como$N \to \infty$si$\sum_j J_{ij}$converge absolutamente, lo que significa aproximadamente que$|J_{ij}|$tiene que caer más rápido que$1/r^d$, dónde$d$es el número de dimensiones. En otras palabras, los acoplamientos deben ser razonablemente locales.

(Los expertos pueden objetar que los sistemas desordenados con acoplamientos todo-a-todo no locales, como los modelos Sherrington-Kirkpatrick o SYK, todavía tienen transiciones de fase que rompen la simetría de las réplicas. Pero eso solo es cierto si reescalas las constantes de acoplamiento como una potencia de el tamaño total del sistema, que no es una cosa muy física para hacer. Si no hace esto, entonces la transición de fase desaparece, y de hecho el$N \to \infty$el límite se vuelve mal definido. Los sistemas reales nunca están realmente acoplados todos a todos; en la práctica, existe una distancia máxima a la que desaparecen los acoplamientos, y los modelos acoplados todos a todos son solo una aproximación conveniente).

Cualquier explicación putativa de la ruptura espontánea de la simetría que no utilice explícitamente la localidad es, en el mejor de los casos, seriamente incompleta. La decoherencia es demasiado complicada para explicarla aquí, pero una suposición clave es que las interacciones son locales en el espacio, lo que selecciona la base de posición como una base de puntero naturalmente favorecida, de modo que los estados propios cercanos a la posición son más naturales que, digamos, los estados cercanos al impulso. autoestados.

2. y 3

La localidad del sistema, y ​​específicamente la suposición de que las perturbaciones son todas locales, nos da una noción de la "distancia" entre dos estados que es más útil que la mera otogonalidad. Como usted señala, los productos de ortogonalidad/internos por sí solos no pueden distinguir entre dos estados que solo difieren en un solo giro y dos estados que difieren en todos sus giros, aunque el último par es claramente, en cierto sentido, "más diferente" que el primero

Por supuesto que tienes razón en que$\langle i | A | j \rangle = 0$para dos estados propios distintos de cualquier operador hermitiano, no solo el hamiltoniano . Pero ese elemento de matriz simple no es la definición correcta de "la amplitud de efecto túnel". Hasta donde yo sé, la definición real es un poco confusa y el concepto es más un arte que una ciencia, pero aquí hay dos posibles conceptualizaciones:

a) Puedes pensar en el término que rompe la simetría como una perturbación y descomponer el hamiltoniano como$H = H_0 + \Delta H$, dónde$H_0$respeta la simetría y$\Delta H$lo rompe Entonces la teoría de la perturbación nos dice que todas las correcciones perturbativas se pueden expresar en términos de los elementos de la matriz$\langle i_0 | \Delta H | j_0 \rangle$dónde$\langle i_0|$y$|j_0\rangle$son los estados propios del hamiltoniano no perturbado$H_0$, no el hamiltoniano exacto. Estos elementos de matriz son genéricamente distintos de cero.

b) No me gusta la teoría de perturbaciones, así que prefiero pensar en ella por analogía con Monte Carlo. El entorno intenta constantemente actuar sobre el sistema con pequeñas perturbaciones locales aleatorias que rompen la simetría. Puedes pensar en ello como si$h = 0$en el hamiltoniano completo, pero$h_i \sigma_i^x$los términos aparecen al azar momentáneamente en sitios individuales$i$(o términos similares en pequeños grupos locales de sitios). Estos son como los giros de espín candidatos de Monte Carlo y, a baja temperatura, generalmente solo se aceptan si reducen la energía total del sistema. Para un pequeño sistema que comienza en el todo-$\uparrow$estado, es posible que tenga suerte y acepte suficientes cambios para eventualmente llevarlo a una mayoría-$\downarrow$estado, momento en el que probablemente procederá a todo-$\downarrow$- a pesar de que cada uno de esos primeros lanzamientos individuales era poco probable. Pero para voltear más de la mitad del sistema, inicialmente debe tener suerte muchas veces (independientes) seguidas, y las probabilidades de que eso suceda disminuyen exponencialmente con el tamaño del sistema. La "amplitud de túnel" es básicamente la probabilidad de que esto suceda después de muchos barridos de Monte Carlo y, de hecho, disminuye exponencialmente con el tamaño del sistema. Para un sistema pequeño, eventualmente cambiará al otro estado fundamental, aunque tomará mucho tiempo. Para un sistema grande, tomará mucho tiempo, y para un sistema infinito, nunca llegará por completo.

Si esa analogía es demasiado clásica para su gusto, puede pensar en cambio en el espacio de circuitos cuánticos aleatorios, con circuitos ponderados de acuerdo con una función de costo que depende de los elementos de la matriz hamiltoniana, y la "amplitud de túnel" entre dos estados cuánticos es como el peso total de todos los circuitos aleatorios que llevan de un estado al otro.

4.

Tienes razón en que cualquier valor finito de$h$rompe la simetría. Para cualquier sistema, incluso uno infinito, tienes que$m(h) \neq 0$si$h > 0$. Pero ¿qué pasa con el límite$h \to 0^+$? Una definición de SSB es la falla de los límites$h \to 0^+$y$N \to \infty$para viajar En la fase de SSB, después de tomar$N \to \infty$, tienes eso$m(h)$tiene una discontinuidad de salto en$h = 0$, de modo que$m(0) = 0$pero$\lim \limits_{h \to 0^+} m(h) > 0$. A eso nos referimos cuando decimos que una perturbación infinitesimal$h$rompe la simetría.

Ya hay algunas buenas respuestas, pero les daré una física y precisa para aquellos que tienen prisa.

La pregunta que voy a abordar es

¿Por qué los estados cat (como los estados GHZ) son físicamente inestables?

siendo la respuesta

Porque una interacción genérica con el medio ambiente, por pequeña que sea, colapsará/descoherirá dichos estados.

Por ejemplo, considere la cadena de Ising habitual en la que un solo giro interactúa con un solo giro en el entorno:

$$H = - \left( \sum_{n=1}^{N-1} \sigma^z_n \sigma^z_{n+1} \right) - \varepsilon \; \sigma^z_1 \sigma^z_\textrm{env} \qquad (\textrm{with }\varepsilon >0).$$

Los estados fundamentales del estado del gato serán

$$|\Psi_\pm \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow_1 \uparrow_2 \cdots \uparrow_N \uparrow_\textrm{env} \rangle \pm |\downarrow_1 \downarrow_2 \cdots \downarrow_N \downarrow_\textrm{env} \rangle \right).$$ Suponiendo que no tenemos un control/conocimiento (coherente) sobre el medio ambiente, nuestra descripción efectiva es $$\rho_\textrm{system} = \textrm{Tr}_{\textrm{env}} \left( |\Psi_\pm\rangle \langle \Psi_\pm | \right) = \frac{1}{2} \left( \rho_+ + \rho_- \right),$$ dónde$\rho_\pm$son los estados de ruptura de simetría del sistema (correspondientes a$|\uparrow_1 \cdots \uparrow_N\rangle$y$|\downarrow_1\cdots \downarrow_N\rangle$).

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NB: Lo anterior también explica por qué los estados GHZ que aparecen como estados fundamentales de las cadenas fermiónicas topológicas (por ejemplo, la cadena de Kitaev) son estables : no hay un operador local que divida el espacio de Hilbert bidimensional, mientras que lo anterior funcionó porque no había tal operador local (es decir,$\sigma^z_1$) a los que podría acoplarse el entorno (este último funcionando como un aparato de medida).

El problema es que, hablando por ejemplo del modelo de Ising de campo transversal, los estados$\Omega_\pm$con todos los giros teniendo giro-$z$-valor propio$\pm 1$no existen en el mismo espacio de Hilbert en el límite termodinámico.

Esto parece una declaración extraña, así que intentaré explicarlo más. Trabajando directamente en el límite termodinámico, debemos tener cuidado con los operadores que permitimos. Teniendo en cuenta que los dispositivos de medición tienen solo un tamaño finito, deberíamos permitir solo operadores locales, es decir, aquellos operadores que de alguna manera decaen en el infinito (por ejemplo, exponencialmente o con soporte finito).

Entonces para todos esos operadores$O$, tenemos eso

$$\langle \Omega_-, O \Omega_+ \rangle = 0.$$

Es decir, no hay ningún operador que te lleve de$\Omega_-$a$\Omega_+$. (Esto posiblemente esté relacionado con este negocio de "probabilidad de túnel"). ¡Sin embargo, esta es exactamente la definición de un sector de superselección! Por lo tanto, lo que pensó es el estado fundamental simétrico único

$$\frac{\Omega_+ + \Omega_-}{\sqrt{2}}$$

no es una superposición, sino una mezcla estadística de dos estados rotos de simetría.