¿Cómo mostrar la rotación finita de un sistema spin-1/2?

Estoy repasando mi mecánica cuántica revisando a Sakurai y Napolitano nuevamente y resolviendo todas las derivaciones. Estoy perplejo (aunque probablemente no debería estarlo) con algo de álgebra en la rotación finita de los sistemas de espín-1/2. La derivación (Sakurai y Napolitano, pág. 164) comienza aplicando el operador de rotación finita sobre el eje z al$S_x$operador sobre la base de$S_z$autos:

$\left(\frac{\hbar}{2}\right) \exp \left(\frac{iS_z\phi}{\hbar}\right) \left( \left|+\right>\left<-\right|+\left|-\right>\left<+\right| \right) \exp \left(\frac{-iS_z\phi}{\hbar}\right)$

Hasta aquí todo bien: la descomposición espectral de$S_x$es obvio a partir de las matrices de Pauli, y el operador de rotación finito es fácil de obtener tomando el límite de aplicar el operador de rotación infinitesimal infinitamente muchas veces. Sustituyendo$S_z=\frac{\hbar}{2}$y repartiendo, obtengo

$\left(\frac{\hbar}{2}\right) \left( e^{i\phi/2} \left|+\right>\left<-\right| e^{-i\phi/2} + e^{i\phi/2} \left|-\right>\left<+\right| e^{-i\phi/2} \right)$

Pero Sakurai y Napolitano (correctamente) obtienen

$\left(\frac{\hbar}{2}\right) \left( e^{i\phi/2} \left|+\right>\left<-\right| e^{i\phi/2} + e^{-i\phi/2} \left|-\right>\left<+\right| e^{-i\phi/2} \right)$

De esta forma es sencillo aplicar la fórmula de Euler y mostrar que la acción de la rotación finita en$S_x$es solo

$S_x \cos \phi - S_y \sin \phi$

que gira el espín en el plano xy, como se esperaba. Lo que no puedo entender (y estoy seguro de que es algo simple que estoy pasando por alto) es cómo se distribuyen los exponenciales en los dos términos en la descomposición espectral. ¿Es este un truco de álgebra que me estoy perdiendo, o hay algo más equivocado en mi forma de pensar?