Consultas sobre rotación en QM para spin s = 1 s = 1 s = 1 sistema

Question

Consultas sobre rotación en QM para spin s = 1 s = 1 s = 1 sistema

usuario110903

Me interesa como hacer una rotacion sobre el $x$ -eje en QM para giro $s = 1$ sistema. En una respuesta a la publicación, tenemos que para una rotación general en QM donde girar $s = 1$ tenemos la ecuacion:

\begin{aligned} Exp (i α j \cdot \hat{norte}) & = 1 + i \hat{norte} \cdot j pecado α + (\hat{norte} \cdot j)^{2} (porque α - 1) \\ = 1 + [2 i \hat{norte} \cdot j pecado (α / 2)] porque (α / 2) + \frac{1}{2} {[2 i \hat{norte} \cdot j pecado (α / 2)]}^{2}, \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) & = 1 + i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin\alpha + (\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J})^2(\cos\alpha-1) \\ & = 1 + \left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]\cos(\alpha/2) + \frac{1}{2}\left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]^2, \end{aligned} \end{equation}$ Preguntas: ¿Debería el LHS no ser

\exp (i α J \cdot \hat{n} / 2)

$\exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}/2)$ como en el

s = 1 / 2

$s = 1/2$ caso, donde tenemos

Exp (- i \frac{α}{2} \vec{σ} \cdot norte) = porque (\frac{α}{2}) - i \vec{σ} \cdot norte pecado (\frac{α}{2}) ?

$\exp(-i\frac{\alpha}{2}\vec{\sigma}\cdot\textbf{n}) = \cos\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)-i\vec{\sigma}\cdot\textbf{n}\sin\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)?$ Además, la idea sería entonces escribir

J_{x} = J_{+} + J_{-}

$J_x = J_{+}+J_{-}$ donde tenemos los operadores de subida y bajada, y luego expresar esto como una matriz en base a

J_{z}

$J_z$ estados propios?

Respuestas (1)

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ZeroTheHero · Answer 1

No. Al escribir $\exp(i\alpha \hat n\cdot \vec J)$ hay que usar matrices $\hat J_x,\hat J_y,\hat J_z$ con las relaciones de conmutación estándar:

[{\hat{j}}_{X}, {\hat{j}}_{y}] = i ℏ {\hat{j}}_{z}, etc.

$[\hat J_x,\hat J_y]=i\hbar \hat J_z\, , \hbox{etc}$ Para

s = 1 / 2

$s=1/2$ , las matrices que satisfacen las relaciones de conmutación son

{\frac{1}{2} σ_{x}, \frac{1}{2} σ_{y}, \frac{1}{2} σ_{z}}

$\{\textstyle\frac{1}{2}\sigma_x,\textstyle\frac{1}{2}\sigma_y,\textstyle\frac{1}{2}\sigma_z\}$ en vez de

{σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}}

$\{\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\}$ , de ahí la necesidad de la

\frac{1}{2}

$\textstyle\frac{1}{2}$ factor.

Sí, en general se obtendrían las matrices para $\hat J_x$ y $\hat J_y$ , únelos con $\hat J_z$ para construir $\exp(i\alpha \hat n\cdot \vec J)$ y exponenciar. El resultado no depende de la base sino de la base de estados propios de $\hat J_z$ es conveniente ya que el $\hat J_\pm$ en esta base son bien conocidas y fáciles de calcular.

Editar: en respuesta a un comentario, las matrices de rotación suelen ser de la forma

R_{z} (α) R_{y} (β) R_{z} (γ) = {mi}^{- i α L_{z}} {mi}^{- i β L y} {mi}^{- i γ L_{z}}

$R_z(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)=e^{-i \alpha L_z}e^{-i\beta Ly} e^{-i\gamma L_z}$ Llegar

R_{x}

$R_x$ uno debe elegir

α = - π / 2

$\alpha=-\pi/2$ y

γ = π / 2

$\gamma=\pi/2$ .

En una base de estados propios de $\hat J_z$ , la rotación $R_x(\beta)=e^{i \pi L_z/2} R_y(\beta) e^{-i\pi L_z/2}$ para $s=1/2$ es dado por

R_{X} (β) = (\begin{array}{cc} porque (\frac{β}{2}) & - i pecado (\frac{β}{2}) \\ - i pecado (\frac{β}{2}) & porque (\frac{β}{2}) \end{array}) = {mi}^{- i β σ_{X} / 2},

$R_x(\beta)=\left( \begin{array}{cc} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) & -i \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) \\ -i \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \end{array} \right)=e^{-i\beta \sigma_x/2}\, ,$ con estados ordenados como

| 1 / 2, 1 / 2 ⟩, | 1 / 2, - 1 / 2 ⟩

$\vert 1/2,1/2\rangle,\vert 1/2,-1/2\rangle$ .

Para $\ell=1$ el resultado correspondiente es

R_{X} (β) = (\begin{array}{ccc} {porque}^{2} (\frac{β}{2}) & - \frac{i pecado (β)}{\sqrt{2}} & - {pecado}^{2} (\frac{β}{2}) \\ - \frac{i pecado (β)}{\sqrt{2}} & porque (β) & - \frac{i pecado (β)}{\sqrt{2}} \\ - {pecado}^{2} (\frac{β}{2}) & - \frac{i pecado (β)}{\sqrt{2}} & {porque}^{2} (\frac{β}{2}) \end{array})

$R_x(\beta)=\left( \begin{array}{ccc} \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} & -\sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} & \cos (\beta ) & -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} \\ -\sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} & \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \end{array} \right)$ para el pedido

| 1, 1 ⟩, | 1, 0 ⟩, | 1, - 1 ⟩

$\vert 1,1\rangle, \vert 1,0\rangle, \vert 1,-1\rangle$

¿Son correctos los signos de los términos anteriores? Parece que cometió un error de que el segundo término es '+' para el $s = \frac{1}{2}$ caso donde debería ser '-'.
¿Puedo pedirte consejo sobre algo? Tengo un código Python que escribí usando esa fórmula para calcular la rotación de un estado. $|s = 1; J_z \rangle$ acerca de $x$ eje. Tengo otro código que hace lo mismo pero da una respuesta diferente, pero la diferencia es que los signos y el orden de los componentes son diferentes (los números son los mismos). Entonces es como si uno de ellos fuera una permutación del otro con una diferencia de signo a veces para los componentes. estoy usando $J_x = \frac{1}{2}J_{+} + \frac{1}{2}J_{-}$ .
Gracias, es bastante útil, lo he estado haciendo a mano... por un tiempo... Para la última matriz, ¿estás seguro de que no entiendes $i\frac{sin(\beta)}{\sqrt{2}}$ (sin el signo negativo que tienes)?
Eso es correcto, también lo entiendo, pero luego simplemente multiplicas por $i \sin(\beta)$ . No hay signo negativo. Oh, creo que es porque estás usando un argumento negativo para exponencial.
Podría simplemente confirmar que esto es correcto para la rotación sobre $z$ eje $R_{z} (α) = [\begin{matrix} i pecado α + C o s α & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & i pecado α + C o s α \end{matrix}]$ $R_{z}(\alpha) =\begin{bmatrix} i\sin \alpha + cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & i\sin \alpha + cos \alpha \end{bmatrix}$ ?
Una última cosa. Lo que me interesa hacer es considerar el estado $|J=1, M=1\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ , formando el estado coherente $|CS \rangle = \begin{bmatrix} 0.5 \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \\ -0.5 \end{bmatrix}$ tomando la rotación $\text{exp}(\frac{-i\pi}{2}J_x)\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \\ -0.5 \end{bmatrix}$ .
Entonces quiero calcular el módulo al cuadrado de la superposición del estado coherente con una rotación del estado coherente sobre el $x$ -eje y el $z$ -eje para varios valores de $\theta$ y $\phi$ : $|\langle CS| \text{exp}(-i \phi J_z) \text{exp}(-i \theta J_x)|CS\rangle|^2$ . El resultado que obtengo es este gráfico . ¿Es este el tipo de trama que habrías predicho? Muchas gracias.
Gracias por comprobarlo, ¿no habría esperado una forma simétrica más circular? Si toma curvas de nivel de esto, parece que obtendrá cortes de tipo elipse. Esta es mi principal preocupación. He trazado una gran cantidad de puntos, por lo tanto, no creo que se deba a la falta de puntos de $\theta$ y $\phi$ . ¿Qué opinas?
@JohnJack La escala en los ejes es diferente. Si utiliza $0\le\theta\le \pi$ y $0\le\phi\le 2\Pi$ esto debería ayudar con la simetría.
Gracias, pero ¿qué quiere decir con 'la escala en los ejes es diferente' y cómo llegó a esa sugerencia para el rango de $\theta$ y $\phi$

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