¿Cuál es la representación matricial de 4 dimensiones del operador de rotación?

Hay una expresión general en mi artículo A Compact Formula for Rotations as Spin Matrix Polynomials, SIGMA 10 (2014), 084 , en el sentido de que, por ejemplo, para el doblete,

$$\begin{gather*} e^{i(\theta/2)(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{\sigma})}=I_{2}\cos{\theta/2}+i(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{\sigma})\sin{\theta/2}, \end{gather*}$$ y el triplete, $j=1$, entonces $J_{3}=\mathrm{diag}(1,0,-1)$, $$\begin{gather*} e^{i\theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})}=I_{3}+i(\boldsymbol{\hat {n}}\cdot\boldsymbol{J})\sin{\theta}+(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})^{2}(\cos\theta-1) \\ \phantom{e^{i\theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})}} =I_{3}+(2i\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J}\sin(\theta/2))\cos (\theta/2)+\tfrac{1}{2}(2i\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J}\sin (\theta/2))^{2}. \end{gather*}$$

Para el cuarteto,$j=3/2$,

$$\begin{gather} e^{i \theta (\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} = I_4 \cos (\theta/2)\left(1+\tfrac{1}{2}\sin^2 (\theta/2)\right)+(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin (\theta/2))\left(1+\tfrac{1}{6} \sin^2 (\theta/2) \right) \nonumber \\ \phantom{e^{i \theta (\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})}=}{} +\frac{1}{2!} \bigl (2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J}\sin (\theta/2) \bigr)^2 \cos (\theta/2)+\frac {1}{3!} \bigl (2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J}\sin (\theta/2) \bigr)^3. \label{quartet} \end{gather}$$

Para el quinteto,$j=2$,

$$\begin{gather*} e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} = I_5+(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta/2)) \cos(\theta/2)\left(1+\tfrac{2}{3}\sin^2(\theta/2)\right) \\ \phantom{e^{i \theta (\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})}=}{} +\frac{1}{2!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta/2))^2}\left(1+\tfrac{1}{3} \sin^2 (\theta/2)\right) \\ \phantom{e^{i \theta (\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})}=}{} +\frac{1}{3!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta/2))^3} \cos(\theta /2) +\frac{1}{4!} (2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin (\theta/2))^4. \end{gather*}$$

Para el sexteto,$j=5/2$,

$$\begin{gather*} e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} = I_6 \cos(\theta/2)\left(1+ \tfrac{1}{2} \sin^2 (\theta/2+\tfrac{3}{8} \sin^4 (\theta/2)\right) \\ \phantom{e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} =}{} +(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta /2))\left(1+\tfrac{1}{6}\sin^2(\theta/2) +\tfrac{3}{40}\sin^4(\theta /2)\right) \\ \phantom{e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} =}{} +\frac{1}{2!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta/2))^2} \cos(\theta /2) \left(1+\tfrac{5}{6}\sin^2(\theta/2)\right) \\ \phantom{e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} =}{} +\frac{1}{3!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin (\theta/2))^3}\left(1+\tfrac{1}{2}\sin^2(\theta/2) \right) \\ \phantom{e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} =}{} +\frac{1}{4!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta/2))^4}\cos(\theta /2) +\frac{1}{5!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin (\theta/2))^5}. \end{gather*}$$

etc...

Hay un patrón simple y una fórmula compacta para el giro arbitrario detallado en ese documento.

Una forma de construir las representaciones explícitas de rotaciones ($\mathrm{SO}(3)$) es partir de la representación matricial de los operadores de subida y bajada en el$J_z$base,

$$J_\pm|j\,m\rangle = \hbar \sqrt{j(j+1) - m(m\pm 1)}|j\, (m\pm1)\rangle,$$ (nótese que cuando se escribe como matrices $J_\pm$tener elementos arriba/abajo de la diagonal principal, dependiendo de cómo ordene los $J_z$autoestados). Luego invierte la definición de $J_\pm$, $J_{\pm} \equiv J_x \pm i J_y$, Llegar: $$\begin{align} J_x &= \frac{J_+ + J_-}{2},\ \mathrm{and} \\ J_y &= \frac{J_+ - J_-}{2i}. \end{align}$$ Recuerda que en el $J_z$base, $J_z$es diagonal con elementos de la matriz: $$\langle j'\, m' | J_z | j\, m\rangle = \delta_{j\, j'} \delta_{m\, m'} \hbar m.$$

A continuación, puede insertar las matrices explícitas para$J_x$,$J_y$, y$J_z$en$\exp\left(-i \frac{\theta}{\hbar} \hat{n} \cdot \vec{J}\right)$para construir una matriz específica (Tenga en cuenta que las matrices de Pauli están dadas por$\sigma_i = \frac{2}{\hbar} J_i$para la representación de giro 1/2). Producir una forma general para las matrices es un poco complicado, ya que tendrá que examinar la expansión de Taylor, construir un conjunto de matrices base linealmente independientes, agruparlas e identificar las funciones trigonométricas que multiplican cada una de las matrices base.

Si una solución numérica es suficiente, los lenguajes de programación como Julia y MATLAB tienen una función llamada expm (por "exponencial de una matriz").

Si lo que te interesa es el$j=1$representación, que está extremadamente bien estudiada , con múltiples respuestas disponibles para tomar. Sugeriría comparar esas respuestas (especialmente la fórmula de rotación de Rodrigues ) con lo que construyes usando lo anterior con$j=1$practicar antes de pasar a$j = 3/2$o mas alto.

Hay varias formas de proceder.

Primero, tenga en cuenta que Mathematica tiene una función integrada llamada WignerD y esta función le dará el elemento de matriz de una matriz de rotación. Descubrí que esta función no parece usar la misma parametrización que Varshalovich, Dmitriĭ Aleksandrovich, Anatolij Nikolaevič Moskalev y Valerii Kel'manovich Khersonskii. Teoría cuántica del momento angular. 1988. , que en mi opinión sigue siendo la biblia. Parece que necesitas usar el negativo de todos los ángulos en WignerD para obtener las fórmulas de Varshalovich.

Hay varias expresiones de forma cerrada para

$$\begin{align} d^j_{mm'}(\beta)&:= \langle jm\vert R_y(\beta)\vert jm'\rangle \, \end{align}$$ como $$\begin{align} d^j_{mm'}(\beta)&=(-1)^{j-m'} \sqrt{(j+m)!(j-m)!(j+m')!(j-m')!}\\ &\times \sum_k (-1)^k \frac{\left(\cos\frac{1}{2}\beta\right)^{m+m'+2k} \left(\sin\frac{1}{2}\beta\right)^{2j-m-m'-2k}} {k!(j-m-k)!(j-m'-k)!(m+m'+k)!}\, . \end{align}$$ También hay una expresión en términos de polinomios de Jacobi: $$\begin{align} d^j_{mm'}(\beta)&=\xi_{mm'} \sqrt{\frac{s!(s+\mu+\nu)!}{(s+\mu)!(s+\nu)!}} \left(\sin\textstyle\frac{1}{2}\beta\right)^\mu \left(\cos\textstyle\frac{1}{2}\beta\right)^\nu P_s^{\mu,\nu}(\cos\beta) \end{align}$$ con $$\mu=\vert m-m'\vert\, ,\quad \nu=\vert m+m'\vert\, ,\quad s=j-\frac{1}{2}(\mu+\nu)$$ y la fase $$\xi_{mm'}=\left\{\begin{array}{cc} 1&\quad \hbox{if } m'\ge m\, \\ (-1)^{m'-m}&\quad \hbox{if } m'<m\, .\end{array}\right.$$

Finalmente, existe un método basado en relaciones de recursión. Esto se describe en detalle en Wolters, GF "Método simple para el cálculo explícito de funciones d". Física nuclear B 18.2 (1970): 625-653. Empezando con

$$\langle jm\vert R_y(\beta) L_x\vert jm'\rangle$$ se puede obtener una relación de recursión $$\begin{align} &\sqrt{(j-m')(j+m'+1)}d^j_{m,m'+1}(\beta) +\sqrt{(j+m')(j-m'+1)}d^j_{m,m'-1}(\beta)\\ &\qquad = 2\hbox{cosec}(\beta)(m'\cos\beta-m)d^j_{mm'}(\beta) \end{align}$$ La función $$\begin{align} d^j_{mj}(\beta)&={2j \choose j+m}^{1/2} \left(\cos\textstyle\frac{1}{2}\beta\right)^{j+m} \left(\sin\textstyle\frac{1}{2}\beta\right)^{j-m}\, ,\\ \end{align}$$ se puede utilizar como semilla para la recursividad.

Como una matriz con elementos$d^{3/2}_{mm'}(\beta)$, los resultados explícitos para$j=3/2$es

$$\begin{align} &R_y(\beta)=\\ &{\scriptsize\left( \begin{array}{cccc} \cos ^3\left(\frac{\beta }{2}\right) & -\sqrt{3} \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \sqrt{3} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) \sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & -\sin ^3\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \sqrt{3} \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \frac{1}{2} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) (3 \cos (\beta )-1) & -\frac{1}{2} (3 \cos (\beta )+1) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \sqrt{3} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) \sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \sqrt{3} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) \sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & \frac{1}{2} (3 \cos (\beta )+1) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \frac{1}{2} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) (3 \cos (\beta )-1) & -\sqrt{3} \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \sin ^3\left(\frac{\beta }{2}\right) & \sqrt{3} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) \sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & \sqrt{3} \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \cos ^3\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \end{array} \right)} \end{align}$$ con las columnas y filas ordenadas como $3/2,1/2,-1/2,-3/2$.